Czy to w szkole, czy na uniwersytecie: interesujące pytanie, które \( 0,99999... = 1 \) do czasu, obejmuje pytanie, czy następujące równanie jest prawdziwe: \( 0,99999... = 1 \) . Chociaż nieskończoność \(0,99999... = A\) w lewej części równania, nadajemy jej nazwę: \(0,99999... = A\) . Po pomnożeniu przez współczynnik \(10\) i prostych przekształceniach algebraicznych otrzymujemy pierwszy zdumiewający wgląd.
$$ \begin{array}{rcll} 9,99999... & = & 10\cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + 0,99999... & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + A & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 & = & 9 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & 0,99999... & \end{array} $$
To wcale nie było takie trudne. Ale co się stanie, jeśli spojrzysz na następującą liczbę $$ ...99999 $$ , która na pierwszy rzut oka wydaje się nieco dziwna, w której nieskończoność rozciąga się nie w prawo, ale w lewo?
Dokonujemy tych samych przemian co powyżej i otrzymujemy:
$$ \begin{array}{rcll} ...99999 & = & B & \Leftrightarrow \\ ...999990 & = & 10\cdot B & \Leftrightarrow \\ B - 9 & = & 10 \cdot B & \Leftrightarrow \\ - 9 & = & 9 \cdot B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & ...99999 & \end{array} $$
Na koniec rozważamy liczbę \( ...99999,99999... \)
i otrzymujesz to, co wygląda niesamowicie na pierwszy rzut oka
$$ \begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C & \Leftrightarrow \\ ...99999,99999... & = & 10\cdot C & \Leftrightarrow \\ C & = & 10 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & 9 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & C & \end{array} $$
Ale jest to również dość spójne, ponieważ z jednej strony \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) az drugiej $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ .
Uwaga: Wykazano, że jeśli zdefiniuje się \(A, B\) i \(C\) i przypisze im rozsądną wartość, to wartościami są \(1, -1\) i \(0\) .