Fie la școală, fie la universitate: o întrebare interesantă care \( 0,99999... = 1 \) când include întrebarea dacă următoarea ecuație este adevărată: \( 0,99999... = 1 \) . Deși infinitul \(0,99999... = A\) în partea stângă a ecuației, îi dăm un nume: \(0,99999... = A\) . După multiplicarea cu factorul \(10\) și transformări algebrice simple, obținem o primă perspectivă uimitoare.
$$ \begin{array}{rcll} 9,99999... & = & 10\cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + 0,99999... & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + A & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 & = & 9 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & 0,99999... & \end{array} $$
Nu a fost deloc atât de dificil. Dar ce se întâmplă când te uiți la următorul număr $$ ...99999 $$ , care la prima vedere pare un pic ciudat, în care infinitul se extinde nu spre dreapta, ci spre stânga?
Realizăm aceleași transformări ca mai sus și primim:
$$ \begin{array}{rcll} ...99999 & = & B & \Leftrightarrow \\ ...999990 & = & 10\cdot B & \Leftrightarrow \\ B - 9 & = & 10 \cdot B & \Leftrightarrow \\ - 9 & = & 9 \cdot B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & ...99999 & \end{array} $$
În cele din urmă, luăm în considerare numărul \( ...99999,99999... \)
și veți obține ceea ce pare uimitor la prima vedere
$$ \begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C & \Leftrightarrow \\ ...99999,99999... & = & 10\cdot C & \Leftrightarrow \\ C & = & 10 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & 9 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & C & \end{array} $$
Dar acest lucru este, de asemenea, destul de consistent, deoarece pe de o parte \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) și, pe de altă parte, $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ aplică $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ .
Indicație: Se arată că dacă se definesc \(A, B\) și \(C\) și le atribuie o valoare rezonabilă, atunci valorile sunt \(1, -1\) și \(0\) .