Akár az iskolában, akár az egyetemen: Érdekes kérdés, \( 0,99999... = 1 \) magában foglalja azt a kérdést, hogy a következő egyenlet igaz-e: \( 0,99999... = 1 \) . Bár a végtelenség \(0,99999... = A\) az egyenlet bal oldalán, adunk neki egy nevet: \(0,99999... = A\) . A \(10\) faktorral való szorzás és az egyszerű algebrai transzformációk után első elképesztő betekintést kapunk.
$$ \begin{array}{rcll} 9,99999... & = & 10\cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + 0,99999... & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + A & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 & = & 9 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & 0,99999... & \end{array} $$
Egyáltalán nem volt olyan nehéz. De mi történik, ha megnézzük a következő, első pillantásra kissé furcsának tűnő $$ ...99999 $$ számot, amelyben a végtelen nem jobbra, hanem balra terjed ki?
Ugyanazokat az átalakításokat hajtjuk végre, mint fent, és fogadunk:
$$ \begin{array}{rcll} ...99999 & = & B & \Leftrightarrow \\ ...999990 & = & 10\cdot B & \Leftrightarrow \\ B - 9 & = & 10 \cdot B & \Leftrightarrow \\ - 9 & = & 9 \cdot B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & ...99999 & \end{array} $$
Végül figyelembe vesszük a \( ...99999,99999... \) számot
és azt kapod, ami első látásra elképesztőnek tűnik
$$ \begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C & \Leftrightarrow \\ ...99999,99999... & = & 10\cdot C & \Leftrightarrow \\ C & = & 10 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & 9 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & C & \end{array} $$
De ez is elég következetes, mivel egyrészt \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) másrészt pedig $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ érvényes.
Megjegyzés: Megmutattuk, hogy ha valaki definiálja \(A, B\) és \(C\) és ésszerű értéket rendel hozzájuk, akkor az értékek \(1, -1\) és \(0\) .