Vare sig i skolan eller på universitetet: En intressant fråga som \( 0,99999... = 1 \) och då inkluderar frågan om följande ekvation är sant: \( 0,99999... = 1 \) . Även om oändligheten \(0,99999... = A\) i den vänstra delen av ekvationen, ger vi den ett namn: \(0,99999... = A\) . Efter multiplicering med faktorn \(10\) och enkla algebraiska transformationer får vi en första häpnadsväckande insikt.
$$ \begin{array}{rcll} 9,99999... & = & 10\cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + 0,99999... & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + A & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 & = & 9 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & 0,99999... & \end{array} $$
Det var inte alls så svårt. Men vad händer om man tittar på följande nummer $$ ...99999 $$ , som vid första anblicken verkar lite konstigt, där oändligheten inte sträcker sig till höger utan till vänster?
Vi utför samma transformationer som ovan och tar emot:
$$ \begin{array}{rcll} ...99999 & = & B & \Leftrightarrow \\ ...999990 & = & 10\cdot B & \Leftrightarrow \\ B - 9 & = & 10 \cdot B & \Leftrightarrow \\ - 9 & = & 9 \cdot B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & ...99999 & \end{array} $$
Slutligen överväger vi numret \( ...99999,99999... \)
och du får det som ser fantastiskt ut vid första anblicken
$$ \begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C & \Leftrightarrow \\ ...99999,99999... & = & 10\cdot C & \Leftrightarrow \\ C & = & 10 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & 9 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & C & \end{array} $$
Men detta är också ganska konsekvent, eftersom å ena sidan \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) och å andra $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ gäller.
Obs! Det visas att om man definierar \(A, B\) och \(C\) och tilldelar dem ett rimligt värde, så är värdena \(1, -1\) och \(0\) .