Ĉu en lernejo, ĉu en universitato: Interesa demando, kiu \( 0,99999... = 1 \) tempo, inkluzivas la demandon, ĉu la sekva ekvacio estas vera: \( 0,99999... = 1 \) . Kvankam senfinaj \(0,99999... = A\) en la maldekstra parto de la ekvacio, ni donas al ĝi nomon: \(0,99999... = A\) . Post multipliko per la faktoro \(10\) kaj simplaj algebraj transformoj, ni ricevas unuan mirigan komprenon.
$$ \begin{array}{rcll} 9,99999... & = & 10\cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + 0,99999... & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + A & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 & = & 9 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & 0,99999... & \end{array} $$
Ĝi tute ne estis tiel malfacila. Sed kio okazas, se vi rigardas la sekvan numeron $$ ...99999 $$ , kiu unuavide ŝajnas iom stranga, en kiu senfineco etendiĝas ne dekstren sed maldekstren?
Ni efektivigas la samajn transformojn kiel supre kaj ricevas:
$$ \begin{array}{rcll} ...99999 & = & B & \Leftrightarrow \\ ...999990 & = & 10\cdot B & \Leftrightarrow \\ B - 9 & = & 10 \cdot B & \Leftrightarrow \\ - 9 & = & 9 \cdot B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & ...99999 & \end{array} $$
Fine ni konsideras la nombron \( ...99999,99999... \)
kaj vi ricevas tion, kio aspektas mirinda unuavide
$$ \begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C & \Leftrightarrow \\ ...99999,99999... & = & 10\cdot C & \Leftrightarrow \\ C & = & 10 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & 9 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & C & \end{array} $$
Sed ĉi tio ankaŭ sufiĉe kongruas, ĉar unuflanke \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) kaj aliflanke $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ validas.
Noto: Montriĝas, ke se oni difinas \(A, B\) kaj \(C\) kaj atribuas al ili racian valoron, tiam la valoroj estas \(1, -1\) kaj \(0\) .