স্কুল হোক বা বিশ্ববিদ্যালয়ে: একটি আকর্ষণীয় প্রশ্ন যা \( 0,99999... = 1 \) এবং তারপরে নিম্নলিখিত সমীকরণটি সত্য কিনা তা নিয়ে প্রশ্ন রয়েছে: \( 0,99999... = 1 \) । যদিও সমীকরণের বাম অংশে অসীম \(0,99999... = A\) রয়েছে তবে আমরা এটির একটি নাম দেব: \(0,99999... = A\) । গুণক \(10\) এবং সাধারণ বীজগণিতিক রূপান্তর দ্বারা গুণনের পরে, আমরা প্রথম বিস্ময়কর অন্তর্দৃষ্টি পাই।
$$ \begin{array}{rcll} 9,99999... & = & 10\cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + 0,99999... & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + A & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 & = & 9 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & 0,99999... & \end{array} $$
সেটা অতটা কঠিন ছিল না। কিন্তু কী হবে যখন আপনি নিম্নলিখিত সংখ্যাটি বিবেচনা করবেন, যা প্রথম দর্শনে কিছুটা অদ্ভুত মনে হয়: $$ ...99999 $$ , যেখানে অসীম ডানদিকে নয়, বরং বামদিকে বিস্তৃত?
আমরা উপরের মতো একই রূপান্তরগুলি পরিচালনা করি এবং গ্রহণ করি:
$$ \begin{array}{rcll} ...99999 & = & B & \Leftrightarrow \\ ...999990 & = & 10\cdot B & \Leftrightarrow \\ B - 9 & = & 10 \cdot B & \Leftrightarrow \\ - 9 & = & 9 \cdot B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & ...99999 & \end{array} $$
পরিশেষে আমরা সংখ্যাটি বিবেচনা করি \( ...99999,99999... \)
এবং আপনি প্রথম দর্শনে যা দেখতে আশ্চর্যজনক তা পান
$$ \begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C & \Leftrightarrow \\ ...99999,99999... & = & 10\cdot C & \Leftrightarrow \\ C & = & 10 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & 9 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & C & \end{array} $$
তবে এটিও বেশ সামঞ্জস্যপূর্ণ, যেহেতু একদিকে \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) এবং অন্যদিকে $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ প্রযোজ্য।
দ্রষ্টব্য: এখানে দেখানো হয়েছে যে, যখন \(A, B\) এবং \(C\) সংজ্ঞায়িত এবং তাদের একটি যুক্তিসঙ্গত মান নির্ধারণ করা হয়, তখন \(1, -1\) এবং \(0\) মানগুলো পাওয়া যায়।