Que ce soit à l'école ou à l'université: Une question intéressante qui \( 0,99999... = 1 \) temps inclut la question de savoir si l'équation suivante est vraie: \( 0,99999... = 1 \) . Bien que l'infini \(0,99999... = A\) dans la partie gauche de l'équation, nous lui donnons un nom: \(0,99999... = A\) . Après multiplication par le facteur \(10\) et de simples transformations algébriques, nous obtenons un premier aperçu étonnant.
$$ \begin{array}{rcll} 9,99999... & = & 10\cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + 0,99999... & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + A & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 & = & 9 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & 0,99999... & \end{array} $$
Ce n'était pas si difficile. Mais que se passe-t-il lorsqu'on considère le nombre suivant, qui à première vue semble quelque peu étrange : $$ ...99999 $$ , dans lequel l'infini s'étend non pas vers la droite, mais vers la gauche ?
Nous effectuons les mêmes transformations que ci-dessus et recevons:
$$ \begin{array}{rcll} ...99999 & = & B & \Leftrightarrow \\ ...999990 & = & 10\cdot B & \Leftrightarrow \\ B - 9 & = & 10 \cdot B & \Leftrightarrow \\ - 9 & = & 9 \cdot B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & ...99999 & \end{array} $$
Enfin, nous considérons le nombre \( ...99999,99999... \)
et vous obtenez ce qui semble incroyable à première vue
$$ \begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C & \Leftrightarrow \\ ...99999,99999... & = & 10\cdot C & \Leftrightarrow \\ C & = & 10 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & 9 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & C & \end{array} $$
Mais c'est aussi assez cohérent, puisque d'une part \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) et d'autre part $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ s'applique.
Remarque : Il est montré que les valeurs \(1, -1\) et \(0\) sont lorsque \(A, B\) et \(C\) sont définis et qu'une valeur raisonnable leur est attribuée.