Sia a scuola che all'università: una domanda interessante che \( 0,99999... = 1 \) tanto include la domanda se la seguente equazione sia vera: \( 0,99999... = 1 \) . Sebbene l'infinito \(0,99999... = A\) nella parte sinistra dell'equazione, gli diamo un nome: \(0,99999... = A\) . Dopo la moltiplicazione per il fattore \(10\) e semplici trasformazioni algebriche, otteniamo la prima sorprendente intuizione.
$$ \begin{array}{rcll} 9,99999... & = & 10\cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + 0,99999... & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + A & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 & = & 9 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & 0,99999... & \end{array} $$
Non è stato affatto difficile. Ma cosa succede se guardi il seguente numero $$ ...99999 $$ , che a prima vista sembra un po 'strano, in cui l'infinito si estende non a destra ma a sinistra?
Eseguiamo le stesse trasformazioni di cui sopra e riceviamo:
$$ \begin{array}{rcll} ...99999 & = & B & \Leftrightarrow \\ ...999990 & = & 10\cdot B & \Leftrightarrow \\ B - 9 & = & 10 \cdot B & \Leftrightarrow \\ - 9 & = & 9 \cdot B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & ...99999 & \end{array} $$
Infine consideriamo il numero \( ...99999,99999... \)
e ottieni ciò che sembra incredibile a prima vista
$$ \begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C & \Leftrightarrow \\ ...99999,99999... & = & 10\cdot C & \Leftrightarrow \\ C & = & 10 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & 9 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & C & \end{array} $$
Ma anche questo è abbastanza coerente, poiché da un lato \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) e dall'altro $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ applica.
Nota: è dimostrato che se si definisce \(A, B\) e \(C\) e si assegna loro un valore ragionevole, i valori sono \(1, -1\) e \(0\) .