Of het nu op school of op de universiteit is: een interessante vraag die \( 0,99999... = 1 \) en dan \( 0,99999... = 1 \) is de vraag of de volgende vergelijking waar is: \( 0,99999... = 1 \) . Hoewel de oneindigheid in het linkerdeel van de vergelijking \(0,99999... = A\) , geven we het een naam: \(0,99999... = A\) . Na vermenigvuldiging met de factor \(10\) en eenvoudige algebraïsche transformaties krijgen we een eerste verbazingwekkend inzicht.
$$ \begin{array}{rcll} 9,99999... & = & 10\cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + 0,99999... & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + A & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 & = & 9 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & 0,99999... & \end{array} $$
Het was helemaal niet zo moeilijk. Maar wat gebeurt er als je kijkt naar het volgende nummer $$ ...99999 $$ , dat op het eerste gezicht een beetje vreemd lijkt, waarin de oneindigheid zich niet naar rechts maar naar links uitstrekt?
We voeren dezelfde transformaties uit als hierboven en ontvangen:
$$ \begin{array}{rcll} ...99999 & = & B & \Leftrightarrow \\ ...999990 & = & 10\cdot B & \Leftrightarrow \\ B - 9 & = & 10 \cdot B & \Leftrightarrow \\ - 9 & = & 9 \cdot B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & ...99999 & \end{array} $$
Ten slotte beschouwen we het getal \( ...99999,99999... \)
en je krijgt wat er op het eerste gezicht geweldig uitziet
$$ \begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C & \Leftrightarrow \\ ...99999,99999... & = & 10\cdot C & \Leftrightarrow \\ C & = & 10 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & 9 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & C & \end{array} $$
Maar dit is ook vrij consistent, aangezien enerzijds \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) en anderzijds $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ toepassing.
Opmerking: het wordt getoond dat als men \(A, B\) en \(C\) definieert en er een redelijke waarde aan toekent, de waarden \(1, -1\) en \(0\) .