Sama ada di sekolah atau di universiti: Soalan menarik yang \( 0,99999... = 1 \) dan merangkumi persoalan sama ada benarnya persamaan berikut: \( 0,99999... = 1 \) . Walaupun infinity \(0,99999... = A\) di bahagian kiri persamaan, kami memberikannya nama: \(0,99999... = A\) . Setelah pendaraban dengan faktor \(10\) dan transformasi aljabar sederhana, kami mendapat pandangan pertama yang menakjubkan.
$$ \begin{array}{rcll} 9,99999... & = & 10\cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + 0,99999... & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + A & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 & = & 9 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & 0,99999... & \end{array} $$
Sama sekali tidak sukar. Tetapi apa yang berlaku jika anda melihat nombor $$ ...99999 $$ , yang pada pandangan pertama kelihatan agak aneh, di mana infiniti meluas bukan ke kanan tetapi ke kiri?
Kami melakukan transformasi yang sama seperti di atas dan menerima:
$$ \begin{array}{rcll} ...99999 & = & B & \Leftrightarrow \\ ...999990 & = & 10\cdot B & \Leftrightarrow \\ B - 9 & = & 10 \cdot B & \Leftrightarrow \\ - 9 & = & 9 \cdot B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & ...99999 & \end{array} $$
Akhirnya kami mempertimbangkan nombor \( ...99999,99999... \)
dan anda mendapat apa yang kelihatan luar biasa pada pandangan pertama
$$ \begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C & \Leftrightarrow \\ ...99999,99999... & = & 10\cdot C & \Leftrightarrow \\ C & = & 10 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & 9 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & C & \end{array} $$
Tetapi ini juga cukup konsisten, kerana di satu pihak \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) dan di sisi lain, $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ berlaku.
Catatan: Ini ditunjukkan bahawa jika seseorang mendefinisikan \(A, B\) dan \(C\) dan memberikan nilai yang wajar kepada mereka, maka nilainya adalah \(1, -1\) dan \(0\) .