Будь то в школі чи в університеті: Цікаве питання, яке \( 0,99999... = 1 \) раз, включає питання, чи відповідає наступне рівняння: \( 0,99999... = 1 \) . Хоча нескінченність \(0,99999... = A\) в лівій частині рівняння, ми даємо їй назву: \(0,99999... = A\) . Після множення на множник \(10\) та простих алгебраїчних перетворень ми отримуємо перше дивовижне розуміння.
$$ \begin{array}{rcll} 9,99999... & = & 10\cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + 0,99999... & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + A & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 & = & 9 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & 0,99999... & \end{array} $$
Це було зовсім не так складно. Але що станеться, якщо подивитися на наступне число $$ ...99999 $$ , яке на перший погляд здається трохи дивним, при якому нескінченність простягається не вправо, а вліво?
Ми проводимо ті самі перетворення, що і вище, і отримуємо:
$$ \begin{array}{rcll} ...99999 & = & B & \Leftrightarrow \\ ...999990 & = & 10\cdot B & \Leftrightarrow \\ B - 9 & = & 10 \cdot B & \Leftrightarrow \\ - 9 & = & 9 \cdot B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & ...99999 & \end{array} $$
Нарешті, ми розглянемо число \( ...99999,99999... \)
і ви отримуєте те, що виглядає приголомшливо з першого погляду
$$ \begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C & \Leftrightarrow \\ ...99999,99999... & = & 10\cdot C & \Leftrightarrow \\ C & = & 10 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & 9 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & C & \end{array} $$
Але це також цілком узгоджено, оскільки з одного боку \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) а з іншого боку $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ застосовується $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ .
Примітка: Показано, що якщо визначити \(A, B\) та \(C\) та присвоїти їм розумне значення, тоді значеннями є \(1, -1\) та \(0\) .