Ya sea en la escuela o en la universidad: una pregunta interesante que \( 0,99999... = 1 \) cuando incluye la pregunta de si la siguiente ecuación es cierta: \( 0,99999... = 1 \) . Aunque el infinito \(0,99999... = A\) en la parte izquierda de la ecuación, le damos un nombre: \(0,99999... = A\) . Después de la multiplicación por el factor \(10\) y las transformaciones algebraicas simples, obtenemos una primera idea asombrosa.
$$ \begin{array}{rcll} 9,99999... & = & 10\cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + 0,99999... & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 + A & = & 10 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 9 & = & 9 \cdot A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & A & \Leftrightarrow \\ 1 & = & 0,99999... & \end{array} $$
No fue tan difícil en absoluto. Pero, ¿qué pasa si miras el siguiente número $$ ...99999 $$ , que a primera vista parece un poco extraño, en el que el infinito se extiende no hacia la derecha sino hacia la izquierda?
Realizamos las mismas transformaciones que arriba y recibimos:
$$ \begin{array}{rcll} ...99999 & = & B & \Leftrightarrow \\ ...999990 & = & 10\cdot B & \Leftrightarrow \\ B - 9 & = & 10 \cdot B & \Leftrightarrow \\ - 9 & = & 9 \cdot B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & B & \Leftrightarrow \\ -1 & = & ...99999 & \end{array} $$
Finalmente consideramos el número \( ...99999,99999... \)
y obtienes lo que se ve increíble a primera vista
$$ \begin{array}{rcll} ...99999,99999... & = & C & \Leftrightarrow \\ ...99999,99999... & = & 10\cdot C & \Leftrightarrow \\ C & = & 10 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & 9 \cdot C & \Leftrightarrow \\ 0 & = & C & \end{array} $$
Pero esto también es bastante consistente, ya que por un lado \(A + B = 0,99999... + ...99999 = 99999,99999 = C\) y por otro lado $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ aplica $$A + B = 1 + (-1) = 0 = C$$ .
Nota: Se muestra que si uno define \(A, B\) y \(C\) y les asigna un valor razonable, entonces los valores son \(1, -1\) y \(0\) .