Formula e mesnatës e ka marrë emrin nga një kërkesë e shkollës: duhet të jeni në gjendje të recitoni formulën e zgjidhjes për ekuacionet kuadratike edhe nëse zgjoheni në mes të natës. Në shkallën e tretë dhe të katërt, kjo lojë e mendimit bëhet shumë më kërkuese. Ekzistojnë gjithashtu formula të mbyllura për këtë duke përdorur aritmetikën bazë dhe rrënjët, por ato janë shumë më të gjata. Këtu janë plotësisht në koeficientët origjinal \(a,b,c,d,e\) , pa variabla ndihmës dhe me kushtet e nevojshme.
Koeficienti kryesor gjithmonë plotëson \(a\ne0\) ; përndryshe shkalla bie. Ne jemi duke kërkuar për të gjitha zerot komplekse duke përfshirë shumëfishat. Në rastin linear \(n=1\) koeficientët \(a\) dhe \(b\) janë të mjaftueshëm: ekuacioni mund të zgjidhet drejtpërdrejt për \(x\) dhe ka saktësisht një zero të thjeshtë. Kjo vlen edhe për koeficientët kompleks. Për \(a=0\) megjithatë, nuk ka zgjidhje për \(b\ne0\) ; janë \(a=b=0\) , çdo kompleks \(x\) është një zgjidhje. Për ekuacionin aktual linear fitohet:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
Për \(n=2\) ekuacioni kuadratik përmban koeficientët \(a,b,c\) . Me \(k=1,2\) \((-1)^k\) ndryshon shenjën dhe kthen të dyja zerat duke përfshirë shumëfishat. Për koeficientët realë ekzistojnë dy zgjidhje reale të ndryshme për \(b^2-4ac>0\) , për \(b^2-4ac=0\) një e dyfishtë dhe për një vlerë negative dy komplekse të konjuguara: Më pas mund të zgjidhni rrënjët në mënyrë që \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) \(i\) jetë njësia me \(i^2=-1\) është. Nuk ka dallim rasti për koeficientët kompleks; formula zbatohet me të dy rrënjët katrore:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
Për \(n=3\) formula e Cardano-s është shkruar drejtpërdrejt në \(a,b,c,d\) . Shkronja \(k\) është vetëm një indeks zgjidhjeje: vlerat \(1,2,3\) zgjedhin tre zerat, asnjë sasi tjetër ndihmëse. Fuqia përmban një rrënjë të tretë primitive të unitetit të shkruar. Çdo simbol rrënjë përfaqëson çdo rrënjë komplekse; një shprehje e përsëritur duhet të tregojë të njëjtën vlerë kudo. Vetëm me \(b^2-3ac=0\) rrënja e brendshme katrore duhet të ketë vlerën \(2b^3-9abc+27a^2d\) , përndryshe radikandi i rrënjës së kubit bëhet zero.:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) tregon se si funksionon përcaktimi i rrënjës së brendshme katrore: Këtu \(b^2-3ac=0\) dhe \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) . Me vlerën \(27\) në vend të \(-27\) rrënja e kubit do të ishte \(\frac{-27+27}{2}=0\) dhe formula nuk do të ishte e vlerësueshme. Kushti nën ekuacionin fillestar përjashton saktësisht rastin në të cilin të dyja shprehjet janë zero dhe rrënja e kubit zhduket gjithmonë. Atëherë ekuacioni ka një zero të trefishtë dhe nuk mbulohet nga formula e dhënë këtu.
Për koeficientët kub real, shenja e \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) përcakton zerot: Një vlerë pozitive do të thotë tre zgjidhje reale të ndryshme, një vlerë negative do të thotë një reale dhe dy joreale, në zero të gjitha janë reale me përsëritje. Në rastin e parë, kjo formulë Cardano detyron vlera komplekse të ndërmjetme. Formulat radikale janë algjebrike të sakta, por jo gjithmonë numerikisht të qëndrueshme: vlerat e ndërmjetme pothuajse identike mund të kushtojnë shifra në llogaritjet me pikë lundruese; nëse është e nevojshme, përdoret saktësi më e lartë.
Për \(n=4\) formula e Ferrarit është gjithashtu e shkruar plotësisht në \(a,b,c,d,e\) . Indeksi \(k\) shkon nga \(1\) në \(4\) ; fuqitë e \(-1\) kapin të katër kombinimet e shenjave dhe bashkojnë rrënjët në mënyrë të përshtatshme. Të njëjtat shprehje rrënjë tregojnë të njëjtën vlerë, madje edhe për \(k\) të ndryshme. Për \(c^2-3bd+12ae=0\) \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) është vlera e rrënjës së brendshme katrore. Kushtet sipas ekuacionit fillestar parandalojnë ndarjen me zero; çdo zero regjistrohet me shumësinë e saj:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
Kushti i parë përjashton polinomet që janë simetrike rreth pozicionit \(x=-\frac{b}{4a}\) , duke përfshirë ekuacionet bikuadratike me \(b=d=0\) si \(x^4-5x^2+4=0\) . Atje rrënja e parë e madhe mund të bëhet zero dhe më pas është në emërues. Kushti i dytë përjashton të paktën një zero të trefishtë, për shembull me \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) : Këtu rrënja e kubit zhduket në emërues. Rastet e veçanta të përjashtuara nuk mbulohen nga formula e kutisë; formulat shtesë të zgjidhjeve janë lënë jashtë këtu.
Nga \(n=5\) as aftësitë më të mira të memorizimit nuk ndihmojnë: nuk ka një formulë të përgjithshme të përbërë nga një numër i kufizuar veprimesh aritmetike bazë dhe rrënjë. Kjo është ajo që thotë teorema Abel-Ruffini ; një provë mund të gjendet në Milne's Fields dhe Teoria Galois . Ekuacionet individuale ende mund të zgjidhen duke përdorur radikale. Dhe mbeten vlera të tjera të përafërta dhe funksione të veçanta, si radikali i Bring në shkallën e pestë. Pra, zerot nuk zhduken, vetëm perspektiva e një formule rrënjë universale.