De middernachtformule dankt zijn naam aan een schoolvereiste: je zou de oplossingsformule voor kwadratische vergelijkingen moeten kunnen opzeggen, zelfs als je midden in de nacht wakker wordt. Op de derde en vierde graad wordt dit denkspel veel veeleisender. Er zijn ook gesloten formules hiervoor die basisrekenkunde en wortels gebruiken, maar deze zijn aanzienlijk langer. Hier staan ze volledig in de oorspronkelijke coëfficiënten \(a,b,c,d,e\) , zonder hulpvariabelen en met de nodige voorwaarden.
De leidende coëfficiënt voldoet altijd aan \(a\ne0\) ; anders daalt de graad. We zijn op zoek naar alle complexe nullen, inclusief veelvouden. In het lineaire geval \(n=1\) zijn de coëfficiënten \(a\) en \(b\) voldoende: de vergelijking is direct op te lossen voor \(x\) en heeft precies één simpele nul. Dit geldt ook voor complexe coëfficiënten. Voor \(a=0\) is er echter geen oplossing voor \(b\ne0\) ; zijn \(a=b=0\) , elk complex \(x\) is een oplossing. Voor de feitelijke lineaire vergelijking verkrijgt men:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
Voor \(n=2\) bevat de kwadratische vergelijking de coëfficiënten \(a,b,c\) . Met \(k=1,2\) verandert \((-1)^k\) het teken en geeft beide nullen inclusief veelvouden. Voor reële coëfficiënten zijn er twee verschillende reële oplossingen voor \(b^2-4ac>0\) , voor \(b^2-4ac=0\) een dubbele en voor een negatieve waarde twee geconjugeerde complexen: Vervolgens kun je de wortels zo kiezen dat \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) van toepassing is, waarbij \(i\) de denkbeeldige eenheid is met \(i^2=-1\) is. Er is geen gevalsonderscheid voor complexe coëfficiënten; de formule geldt met beide vierkantswortels:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
Voor \(n=3\) wordt de formule van Cardano direct uitgeschreven in \(a,b,c,d\) . De letter \(k\) is slechts een oplossingsindex: de waarden \(1,2,3\) kiezen de drie nullen, geen andere hulpgrootheid. De kracht bevat een uitgeschreven primitieve derde eenheidswortel . Elk wortelsymbool vertegenwoordigt elke complexe wortel; een herhaalde uitdrukking moet overal dezelfde waarde aanduiden. Alleen bij \(b^2-3ac=0\) moet de binnenste vierkantswortel de waarde \(2b^3-9abc+27a^2d\) hebben, anders wordt de wortel van de derdemachtswortel nul:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) laat zien hoe de bepaling van de binnenste vierkantswortel werkt: Hier \(b^2-3ac=0\) en \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) . Met de waarde \(27\) in plaats van \(-27\) zou de derdemachtswortel \(\frac{-27+27}{2}=0\) zijn en zou de formule niet evalueerbaar zijn. De voorwaarde onder de initiële vergelijking sluit precies het geval uit waarin beide uitdrukkingen nul zijn en de derdemachtswortel daarom altijd verdwijnt. De vergelijking heeft dan een drievoudige nul en valt niet onder de hier gegeven formule.
Voor echte kubieke coëfficiënten bepaalt het teken van \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) de nullen: een positieve waarde betekent drie verschillende reële oplossingen, een negatieve waarde betekent één reële en twee niet-reële, bij nul zijn ze allemaal reëel met herhalingen. In het eerste geval dwingt deze Cardano-formule complexe tussenwaarden af. Radicale formules zijn algebraïsch exact, maar niet altijd numeriek stabiel: vrijwel identieke tussenwaarden kunnen cijfers kosten bij berekeningen met drijvende komma; indien nodig wordt een hogere nauwkeurigheid gebruikt.
Voor \(n=4\) is de formule van Ferrari ook volledig uitgeschreven in \(a,b,c,d,e\) . De index \(k\) loopt van \(1\) tot \(4\) ; de machten van \(-1\) vangen alle vier tekencombinaties op en koppelen de wortels op de juiste manier. Dezelfde wortelexpressies duiden dezelfde waarde aan, zelfs voor verschillende \(k\) . Voor \(c^2-3bd+12ae=0\) is \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) de waarde van de binnenste vierkantswortel. De omstandigheden onder de initiële vergelijking voorkomen deling door nul; elke nul wordt geregistreerd met zijn veelvoud:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
De eerste voorwaarde sluit polynomen uit die symmetrisch zijn rond de positie \(x=-\frac{b}{4a}\) , inclusief bikwadratische vergelijkingen met \(b=d=0\) zoals \(x^4-5x^2+4=0\) . Daar kan de eerste grote wortel nul worden en staat dan in de noemer. De tweede voorwaarde sluit minimaal een drievoudige nul uit, bijvoorbeeld met \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) : Hier verdwijnt de derdemachtswortel in de noemer. De uitgesloten speciale gevallen vallen niet onder de omkaderde formule; aanvullende oplossingsformules worden hier weggelaten.
Vanaf \(n=5\) helpen zelfs de beste memorisatievaardigheden niet: er bestaat geen algemene formule die bestaat uit een eindig aantal elementaire rekenkundige bewerkingen en wortels. Dit is wat de stelling van Abel-Ruffini zegt; een bewijs is te vinden in Milne's Fields and Galois Theory . Individuele vergelijkingen kunnen nog steeds worden opgelost met radicalen. En er blijven andere geschatte waarden en speciale functies bestaan, zoals de radicaal van Bring in de vijfde graad. De nullen verdwijnen dus niet, alleen het vooruitzicht op een universele wortelformule.