Formula de la miezul nopții își trage numele de la o cerință școlară: ar trebui să poți recita formula soluției pentru ecuații patratice chiar dacă te trezești în miezul nopții. La al treilea și al patrulea grad, acest joc de gândire devine mult mai solicitant. Există, de asemenea, formule închise pentru aceasta folosind aritmetică de bază și rădăcini, dar sunt considerabil mai lungi. Aici sunt complet în coeficienții originali \(a,b,c,d,e\) , fără variabile auxiliare și cu condițiile necesare.
Coeficientul conducător satisface întotdeauna \(a\ne0\) ; altfel gradul scade. Căutăm toate zerourile complexe, inclusiv multiplii. În cazul liniar \(n=1\) coeficienții \(a\) și \(b\) sunt suficienți: ecuația poate fi rezolvată direct pentru \(x\) și are exact un zero simplu. Acest lucru se aplică și coeficienților complecși. Pentru \(a=0\) însă, nu există o soluție pentru \(b\ne0\) ; sunt \(a=b=0\) , fiecare complex \(x\) este o soluție. Pentru ecuația liniară reală se obține:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
Pentru \(n=2\) ecuația pătratică conține coeficienții \(a,b,c\) . Cu \(k=1,2\) \((-1)^k\) schimbă semnul și returnează ambele zerouri, inclusiv multipli. Pentru coeficienți reali există două soluții reale diferite pentru \(b^2-4ac>0\) , pentru \(b^2-4ac=0\) una dublă și pentru o valoare negativă două complexe conjugate: Apoi puteți alege rădăcinile astfel încât \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) \(i\) cu unități imaginare \(i^2=-1\) este. Nu există nicio distincție de caz pentru coeficienți complecși; formula se aplică cu ambele rădăcini pătrate:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
Pentru \(n=3\) formula lui Cardano este scrisă direct în \(a,b,c,d\) . Litera \(k\) este doar un indice de soluție: valorile \(1,2,3\) aleg cele trei zerouri, fără altă mărime auxiliară. Puterea conține o a treia rădăcină primitivă scrisă a unității . Fiecare simbol rădăcină reprezintă orice rădăcină complexă; o expresie repetată trebuie să indice aceeași valoare peste tot. Numai cu \(b^2-3ac=0\) rădăcina pătrată interioară trebuie să aibă valoarea \(2b^3-9abc+27a^2d\) , altfel radicandul rădăcinii cubice devine zero:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) arată cum funcționează determinarea rădăcinii pătrate interioare: Aici \(b^2-3ac=0\) și \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) . Cu valoarea \(27\) în loc de \(-27\) , rădăcina cubă ar fi \(\frac{-27+27}{2}=0\) și formula nu ar fi evaluabilă. Condiția din ecuația inițială exclude exact cazul în care ambele expresii sunt zero și, prin urmare, rădăcina cubă dispare întotdeauna. Ecuația are atunci un triplu zero și nu este acoperită de formula dată aici.
Pentru coeficienții cubi reali, semnul \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) determină zerourile: O valoare pozitivă înseamnă trei soluții reale diferite, o valoare negativă înseamnă una reale și două nereale, la zero toate sunt reale cu repetări. În primul caz, această formulă Cardano forțează valori intermediare complexe. Formulele radicale sunt exacte din punct de vedere algebric, dar nu întotdeauna stabile numeric: valorile intermediare aproape identice pot costa cifre în calculele cu virgulă mobilă; dacă este necesar, se utilizează o precizie mai mare.
Pentru \(n=4\) formula lui Ferrari este de asemenea scrisă complet în \(a,b,c,d,e\) . Indicele \(k\) merge de la \(1\) la \(4\) ; puterile lui \(-1\) captează toate cele patru combinații de semne și cuplează rădăcinile în mod corespunzător. Aceleași expresii rădăcină denotă aceeași valoare, chiar și pentru \(k\) diferiți. Pentru \(c^2-3bd+12ae=0\) \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) este valoarea rădăcinii pătrate interioare. Condițiile din ecuația inițială împiedică împărțirea la zero; fiecare zero este înregistrat cu multiplicitatea sa:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
Prima condiție exclude polinoamele care sunt simetrice față de poziția \(x=-\frac{b}{4a}\) , inclusiv ecuațiile biquadratice cu \(b=d=0\) cum ar fi \(x^4-5x^2+4=0\) . Acolo prima rădăcină mare poate deveni zero și se află apoi la numitor. A doua condiție exclude cel puțin un triplu zero, de exemplu cu \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) : Aici rădăcina cubă dispare în numitor. Cazurile speciale excluse nu sunt acoperite de formula din casete; formulele de soluție suplimentare sunt omise aici.
De la \(n=5\) nici cele mai bune abilități de memorare nu ajută: nu există o formulă generală alcătuită dintr-un număr finit de operații aritmetice de bază și rădăcini. Aceasta este ceea ce spune teorema Abel–Ruffini ; o dovadă poate fi găsită în Câmpurile lui Milne și Teoria Galois . Ecuațiile individuale pot fi încă rezolvate folosind radicali. Și rămân alte valori aproximative și funcții speciale, cum ar fi radicalul lui Bring la gradul al cincilea. Deci zerourile nu dispar, doar perspectiva unei formule de rădăcină universală.