Die Mitternachtsformel hat ihren Namen von einer schulischen Zumutung: Man soll die Lösungsformel für quadratische Gleichungen auch dann noch aufsagen können, wenn man mitten in der Nacht geweckt wird. Beim dritten und vierten Grad wird dieses Gedankenspiel deutlich anspruchsvoller. Auch dafür gibt es geschlossene Formeln aus Grundrechenarten und Wurzeln, nur sind sie erheblich länger. Hier stehen sie vollständig in den ursprünglichen Koeffizienten \(a,b,c,d,e\), ohne Hilfsgrößen und mit den nötigen Bedingungen.
Der führende Koeffizient erfüllt immer \(a\ne0\); andernfalls sinkt der Grad. Gesucht sind alle komplexen Nullstellen samt Vielfachheiten. Beim linearen Fall \(n=1\) genügen die Koeffizienten \(a\) und \(b\): Die Gleichung lässt sich direkt nach \(x\) auflösen und hat genau eine einfache Nullstelle. Das gilt auch für komplexe Koeffizienten. Für \(a=0\) gibt es dagegen bei \(b\ne0\) keine Lösung; sind \(a=b=0\), ist jedes komplexe \(x\) eine Lösung. Für die eigentliche lineare Gleichung erhält man:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
Für \(n=2\) enthält die quadratische Gleichung die Koeffizienten \(a,b,c\). Mit \(k=1,2\) wechselt \((-1)^k\) das Vorzeichen und liefert beide Nullstellen samt Vielfachheiten. Bei reellen Koeffizienten gibt es für \(b^2-4ac>0\) zwei verschiedene reelle Lösungen, bei \(b^2-4ac=0\) eine doppelte und bei negativem Wert zwei konjugiert komplexe: Dann kann man die Wurzeln so wählen, dass \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) gilt, wobei \(i\) die imaginäre Einheit mit \(i^2=-1\) ist. Für komplexe Koeffizienten entfällt die Fallunterscheidung; die Formel gilt mit beiden Quadratwurzeln:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
Für \(n=3\) ist Cardanos Formel direkt in \(a,b,c,d\) ausgeschrieben. Der Buchstabe \(k\) ist lediglich ein Lösungsindex: Die Werte \(1,2,3\) wählen die drei Nullstellen, keine weitere Hilfsgröße. Die Potenz enthält eine ausgeschriebene primitive dritte Einheitswurzel. Jedes Wurzelzeichen steht für eine beliebige komplexe Wurzel; ein wiederholter Ausdruck muss überall denselben Wert bezeichnen. Nur bei \(b^2-3ac=0\) muss die innere Quadratwurzel den Wert \(2b^3-9abc+27a^2d\) erhalten, sonst wird der Radikand der Kubikwurzel null:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
Wie die Festlegung der inneren Quadratwurzel wirkt, zeigt \(x^3-1=0\): Hier ist \(b^2-3ac=0\) und \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\). Mit dem Wert \(27\) statt \(-27\) stünde unter der Kubikwurzel \(\frac{-27+27}{2}=0\), und die Formel wäre nicht auswertbar. Die Bedingung unter der Ausgangsgleichung schließt genau den Fall aus, in dem beide Ausdrücke null sind und die Kubikwurzel deshalb immer verschwindet. Die Gleichung besitzt dann eine dreifache Nullstelle und ist von der hier angegebenen Formel nicht erfasst.
Bei reellen kubischen Koeffizienten entscheidet das Vorzeichen von \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) über die Nullstellen: Ein positiver Wert bedeutet drei verschiedene reelle Lösungen, ein negativer eine reelle und zwei nichtreelle, bei null sind alle reell mit Wiederholungen. Im ersten Fall erzwingt diese Cardanoformel komplexe Zwischenwerte. Radikalformeln sind algebraisch exakt, aber nicht immer numerisch stabil: Fast gleiche Zwischenwerte können bei Gleitkommarechnungen Stellen kosten; bei Bedarf verwendet man höhere Genauigkeit.
Für \(n=4\) ist auch Ferraris Formel vollständig in \(a,b,c,d,e\) ausgeschrieben. Der Index \(k\) läuft von \(1\) bis \(4\); die Potenzen von \(-1\) erfassen alle vier Vorzeichenkombinationen und koppeln die Wurzeln passend. Gleiche Wurzelausdrücke bezeichnen denselben Wert, auch für verschiedene \(k\). Bei \(c^2-3bd+12ae=0\) ist \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) der Wert der inneren Quadratwurzel. Die Bedingungen unter der Ausgangsgleichung verhindern Divisionen durch null; jede Nullstelle wird mit ihrer Vielfachheit erfasst:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
Die erste Bedingung schließt Polynome aus, die symmetrisch zur Stelle \(x=-\frac{b}{4a}\) sind, darunter biquadratische Gleichungen mit \(b=d=0\) wie \(x^4-5x^2+4=0\). Dort kann die erste große Wurzel null werden und steht dann im Nenner. Die zweite Bedingung schließt eine mindestens dreifache Nullstelle aus, beispielsweise bei \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\): Hier verschwindet die Kubikwurzel im Nenner. Die ausgeschlossenen Sonderfälle sind nicht durch die eingerahmte Formel abgedeckt; zusätzliche Lösungsformeln bleiben hier weggelassen.
Ab \(n=5\) hilft auch die beste Merkfähigkeit nicht: Eine allgemeine Formel aus endlich vielen Grundrechenarten und Wurzeln gibt es nicht. Das besagt der Satz von Abel–Ruffini; einen Beweis findet man in Milnes Fields and Galois Theory. Einzelne Gleichungen lassen sich trotzdem durch Radikale lösen. Und auch sonst bleiben Näherungswerte und Spezialfunktionen, beim fünften Grad etwa das Bringsche Radikal. Die Nullstellen verschwinden also nicht, nur die Aussicht auf eine universelle Wurzelformel.