午夜公式得名于学校的一项要求：即使你在半夜被叫醒，你也应该能够背诵二次方程的解公式。在第三度和第四度，这种思维游戏变得更加困难。也有使用基本算术和根的封闭公式，但它们要长得多。这里它们完全在原始系数\(a,b,c,d,e\)中，没有辅助变量并且具有必要条件。
首项系数始终满足\(a\ne0\) ；否则学位会下降。我们正在寻找所有复数零，包括倍数。在线性情况下\(n=1\)系数\(a\)和\(b\)就足够了：方程可以直接求解\(x\)并且只有一个简单的零。这也适用于复系数。然而，对于\(a=0\) \(b\ne0\)没有解；是\(a=b=0\) ，每个复数\(x\)都是一个解。对于实际的线性方程，可以得到:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
对于\(n=2\)二次方程包含系数\(a,b,c\) 。使用\(k=1,2\) \((-1)^k\)更改符号并返回两个零（包括倍数）。对于实数系数\(b^2-4ac>0\)有两个不同的实数解，对于\(b^2-4ac=0\)有两个不同的实数解，对于负值有两个共轭复数：然后您可以选择根，以便应用\(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) ，其中\(i\)是虚数单位， \(i^2=-1\)是。复数系数不区分大小写；该公式适用于两个平方根:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
对于\(n=3\)卡尔达诺的公式直接写在\(a,b,c,d\)中。字母\(k\)只是一个解索引：值\(1,2,3\)选择三个零，没有其他辅助量。该幂包含一个写出来的原始三元根。每个根符号代表任何复数根；重复的表达式必须在各处表示相同的值。仅当\(b^2-3ac=0\)时，内部平方根的值必须为\(2b^3-9abc+27a^2d\) ，否则立方根的被除数为零:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\)显示了内部平方根的确定如何工作：这里\(b^2-3ac=0\)和\(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) 。如果值为\(27\)而不是\(-27\) ，立方根将为\(\frac{-27+27}{2}=0\)并且该公式将不可计算。初始方程下的条件完全排除了两个表达式均为零且立方根因此总是消失的情况。该方程有一个三个零，并且不包含在此处给出的公式中。
对于实数三次系数， \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\)的符号决定零点：正值表示三个不同的实数解，负值表示一个实数和两个非实数，为零时均为实数且有重复。在第一种情况下，卡尔达诺公式强制使用复杂的中间值。激进式在代数上是精确的，但在数值上并不总是稳定的：几乎相同的中间值在浮点计算中可能会花费数字；如有必要，可使用更高的精度。
对于\(n=4\)法拉利的公式也完全写在\(a,b,c,d,e\)中。索引\(k\)从\(1\)到\(4\) ； \(-1\)的幂捕获所有四个符号组合并适当地耦合根。即使对于不同的\(k\)相同的根表达式表示相同的值。对于\(c^2-3bd+12ae=0\) \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\)是内部平方根的值。初始方程下的条件防止被零除；每个零都记录了它的重数:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
第一个条件排除关于位置\(x=-\frac{b}{4a}\)对称的多项式，包括具有\(b=d=0\)的双二次方程，例如\(x^4-5x^2+4=0\) 。在那里，第一个大根可以变为零，然后成为分母。第二个条件至少排除三个零，例如\(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) ：这里立方根在分母中消失。排除的特殊情况不在盒装公式涵盖范围内；这里省略了额外的解决方案公式。
从\(n=5\)来看，即使是最好的记忆技巧也无济于事：不存在由有限数量的基本算术运算和根组成的通用公式。这就是阿贝尔-鲁菲尼定理所说的；证明可以在米尔恩的菲尔兹和伽罗瓦理论中找到。单个方程仍然可以使用根式求解。而其他近似值和特殊函数仍然保留，例如Bring的五次根式。所以零并没有消失，只是通用根公式的前景。