La noktomeza formulo ricevas sian nomon de lerneja postulo: vi devus povi deklami la solvformulon por kvadrataj ekvacioj eĉ se vi estas vekita en la mezo de la nokto. Je la tria kaj kvara gradoj, ĉi tiu pensa ludo fariĝas multe pli postulema. Ekzistas ankaŭ fermitaj formuloj por tio uzante bazan aritmetikon kaj radikojn, sed ili estas konsiderinde pli longaj. Ĉi tie ili estas tute en la originalaj koeficientoj \(a,b,c,d,e\) , sen helpvariabloj kaj kun la necesaj kondiĉoj.
La gvida koeficiento ĉiam kontentigas \(a\ne0\) ; alie la grado malpliiĝas. Ni serĉas ĉiujn kompleksajn nulojn inkluzive de multobloj. En la lineara kazo \(n=1\) la koeficientoj \(a\) kaj \(b\) sufiĉas: la ekvacio povas esti solvita rekte por \(x\) kaj havas ekzakte unu simplan nulon. Ĉi tio validas ankaŭ por kompleksaj koeficientoj. Por \(a=0\) tamen, ne ekzistas solvo por \(b\ne0\) ; estas \(a=b=0\) , ĉiu komplekso \(x\) estas solvo. Por la reala lineara ekvacio oni ricevas:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
Por \(n=2\) la kvadrata ekvacio enhavas la koeficientojn \(a,b,c\) . Kun \(k=1,2\) \((-1)^k\) ŝanĝas la signon kaj resendas ambaŭ nulojn inkluzive de multobloj. Por reelaj koeficientoj estas du malsamaj reelaj solvoj por \(b^2-4ac>0\) , por \(b^2-4ac=0\) duobla kaj por negativa valoro du konjugaciitaj kompleksoj: Tiam oni povas elekti la radikojn tiel ke \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) \(i\) kun imagaj unuoj) aplikata. \(i^2=-1\) estas. Ne ekzistas kazdistingo por kompleksaj koeficientoj; la formulo validas kun ambaŭ kvadrataj radikoj:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
Por \(n=3\) la formulo de Cardano estas skribita rekte en \(a,b,c,d\) . La litero \(k\) estas nur solva indekso: la valoroj \(1,2,3\) elektas la tri nulojn, neniun alian helpan kvanton. La potenco enhavas skribitan primitivan trian radikon de unueco . Ĉiu radiksimbolo reprezentas ajnan kompleksan radikon; ripeta esprimo devas ĉie indiki la saman valoron. Nur ĉe \(b^2-3ac=0\) la interna kvadrata radiko devas havi la valoron \(2b^3-9abc+27a^2d\) , alie la radikando de la kuba radiko fariĝas nulo:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) montras kiel funkcias la determino de la interna kvadrata radiko: Ĉi tie \(b^2-3ac=0\) kaj \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) . Kun la valoro \(27\) anstataŭ \(-27\) la kuba radiko estus \(\frac{-27+27}{2}=0\) kaj la formulo ne estus taksebla. La kondiĉo sub la komenca ekvacio ekskludas ĝuste la kazon en kiu ambaŭ esprimoj estas nul kaj la kuba radiko tial ĉiam malaperas. La ekvacio tiam havas trioblan nulon kaj ne estas kovrita per la formulo donita ĉi tie.
Por reelaj kubaj koeficientoj, la signo de \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) determinas la nulojn: Pozitiva valoro signifas tri malsamajn realajn solvojn, negativa valoro signifas unu realon kaj du nereelojn, je nulo ĉiuj estas reelaj kun ripetoj. En la unua kazo, ĉi tiu Cardano-formulo devigas kompleksajn mezajn valorojn. Radikalaj formuloj estas algebre precizaj, sed ne ĉiam cifere stabilaj: preskaŭ identaj mezaj valoroj povas kosti ciferojn en glitkomaj kalkuloj; se necese, pli alta precizeco estas uzata.
Por \(n=4\) la formulo de Ferrari estas ankaŭ skribita tute en \(a,b,c,d,e\) . La indekso \(k\) kuras de \(1\) al \(4\) ; la potencoj de \(-1\) kaptas ĉiujn kvar signokombinojn kaj kunigas la radikojn taŭge. La samaj radikaj esprimoj indikas la saman valoron, eĉ por malsama \(k\) . Por \(c^2-3bd+12ae=0\) \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) estas la valoro de la interna kvadrata radiko. La kondiĉoj sub la komenca ekvacio malhelpas dividon per nulo; ĉiu nulo estas registrita kun sia obleco:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
La unua kondiĉo ekskludas polinomojn kiuj estas simetriaj ĉirkaŭ la pozicio \(x=-\frac{b}{4a}\) , inkluzive de dukvadrataj ekvacioj kun \(b=d=0\) kiel ekzemple \(x^4-5x^2+4=0\) . Tie la unua granda radiko povas fariĝi nul kaj tiam estas en la denominatoro. La dua kondiĉo ekskludas almenaŭ trioblan nulon, ekzemple kun \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) : Ĉi tie la kuba radiko malaperas en la denominatoro. La ekskluditaj specialaj kazoj ne estas kovritaj de la boksita formulo; aldonaj solvformuloj estas preterlasitaj ĉi tie.
El \(n=5\) eĉ la plej bonaj enmemorkapabloj ne helpas: ne ekzistas ĝenerala formulo konsistanta el finia nombro da bazaj aritmetikaj operacioj kaj radikoj. Jen kion diras la teoremo de Abel-Ruffini ; pruvo troviĝas en Milne's Fields and Galois Theory . Individuaj ekvacioj daŭre povas esti solvitaj uzante radikalojn. Kaj aliaj proksimumaj valoroj kaj specialaj funkcioj restas, kiel la radikalo de Bring je la kvina grado. Do la nuloj ne malaperas, nur la perspektivo de universala radika formulo.