Формула полуночи получила свое название от школьного требования: вы должны уметь произносить формулу решения квадратных уравнений, даже если вас разбудили посреди ночи. На третьей и четвертой ступенях эта мыслительная игра становится гораздо более требовательной. Для этого также существуют закрытые формулы, использующие базовую арифметику и корни, но они значительно длиннее. Здесь они полностью в исходных коэффициентах \(a,b,c,d,e\) , без вспомогательных переменных и с необходимыми условиями.
Старший коэффициент всегда удовлетворяет условию \(a\ne0\) ; в противном случае степень падает. Мы ищем все комплексные нули, включая кратные. В линейном случае \(n=1\) коэффициентов \(a\) и \(b\) достаточно: уравнение решается непосредственно относительно \(x\) и имеет ровно один простой нуль. Это касается и комплексных коэффициентов. Однако для \(a=0\) решения для \(b\ne0\) не существует; являются \(a=b=0\) , каждый комплекс \(x\) является решением. Для реального линейного уравнения получаем:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
Для \(n=2\) квадратное уравнение содержит коэффициенты \(a,b,c\) . При \(k=1,2\) \((-1)^k\) меняет знак и возвращает оба нуля, включая кратные. Для действительных коэффициентов есть два разных действительных решения для \(b^2-4ac>0\) , для \(b^2-4ac=0\) двойное и для отрицательного значения два сопряженных комплекса: Затем вы можете выбрать корни так, чтобы \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) применялось, где \(i\) - мнимая единица с \(i^2=-1\) есть. Для комплексных коэффициентов нет различия регистров; формула применима к обоим квадратным корням:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
Для \(n=3\) формула Кардано записывается непосредственно в \(a,b,c,d\) . Буква \(k\) — это всего лишь индекс решения: значения \(1,2,3\) выбирают три нуля, никакой другой вспомогательной величины. Степень содержит выписанный примитивный корень третьей степени из единицы . Каждый символ корня представляет собой любой комплексный корень; повторяющееся выражение должно везде обозначать одно и то же значение. Только при \(b^2-3ac=0\) внутренний квадратный корень должен иметь значение \(2b^3-9abc+27a^2d\) , в противном случае подкоренное выражение кубического корня становится нулевым.:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) показывает, как работает определение внутреннего квадратного корня: здесь \(b^2-3ac=0\) и \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) . При значении \(27\) вместо \(-27\) кубический корень будет равен \(\frac{-27+27}{2}=0\) , и формулу невозможно будет вычислить. Условие исходного уравнения исключает именно случай, когда оба выражения равны нулю и поэтому кубический корень всегда исчезает. Тогда уравнение имеет тройной ноль и не подпадает под формулу, приведенную здесь.
Для действительных кубических коэффициентов знак \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) определяет нули: положительное значение означает три разных реальных решения, отрицательное значение означает одно вещественное и два недействительных, при нуле все действительные с повторениями. В первом случае эта формула Кардано требует сложных промежуточных значений. Радикальные формулы алгебраически точны, но не всегда численно устойчивы: почти одинаковые промежуточные значения могут стоить цифр в вычислениях с плавающей запятой; при необходимости используется более высокая точность.
Для \(n=4\) формула Феррари также полностью записана в \(a,b,c,d,e\) . Индекс \(k\) проходит от \(1\) до \(4\) ; степени \(-1\) охватывают все четыре комбинации знаков и соответствующим образом соединяют корни. Одни и те же корневые выражения обозначают одно и то же значение даже для разных \(k\) . Для \(c^2-3bd+12ae=0\) \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) — это значение внутреннего квадратного корня. Условия исходного уравнения предотвращают деление на ноль; каждый ноль записывается со своей кратностью:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
Первое условие исключает полиномы, симметричные относительно позиции \(x=-\frac{b}{4a}\) , включая биквадратные уравнения с \(b=d=0\) , такие как \(x^4-5x^2+4=0\) . Там первый большой корень может стать нулем и тогда окажется в знаменателе. Второе условие исключает как минимум тройной ноль, например, \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) : Здесь кубический корень исчезает в знаменателе. Исключенные особые случаи не охватываются формулой в рамке; дополнительные формулы решения здесь опущены.
При \(n=5\) даже самые лучшие навыки запоминания не помогают: не существует общей формулы, состоящей из конечного числа основных арифметических действий и корней. Именно об этом говорит теорема Абеля-Руффини ; доказательство можно найти в «Полях» и «Теории Галуа» Милна . Отдельные уравнения по-прежнему можно решать с помощью радикалов. И остаются другие приблизительные значения и специальные функции, такие как радикал Бринга в пятой степени. Так что нули не исчезают, а только перспектива универсальной корневой формулы.