La formula di mezzanotte prende il nome da un'esigenza scolastica: dovresti essere in grado di recitare la formula risolutiva delle equazioni quadratiche anche se ti svegli nel cuore della notte. Al terzo e quarto grado, questo gioco mentale diventa molto più impegnativo. Esistono anche formule chiuse che utilizzano l'aritmetica di base e le radici, ma sono notevolmente più lunghe. Eccoli completamente nei coefficienti originali \(a,b,c,d,e\) , senza variabili ausiliarie e con le condizioni necessarie.
Il coefficiente iniziale soddisfa sempre \(a\ne0\) ; altrimenti il grado scende. Cerchiamo tutti gli zeri complessi compresi i multipli. Nel caso lineare \(n=1\) sono sufficienti i coefficienti \(a\) e \(b\) : l'equazione è risolvibile direttamente per \(x\) e ha esattamente uno zero semplice. Ciò vale anche per coefficienti complessi. Per \(a=0\) tuttavia, non esiste una soluzione per \(b\ne0\) ; sono \(a=b=0\) , ogni complesso \(x\) è una soluzione. Per l'equazione lineare attuale si ottiene:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
Per \(n=2\) l' equazione quadratica contiene i coefficienti \(a,b,c\) . Con \(k=1,2\) \((-1)^k\) cambia segno e restituisce entrambi gli zeri compresi i multipli. Per i coefficienti reali ci sono due diverse soluzioni reali per \(b^2-4ac>0\) , per \(b^2-4ac=0\) una doppia e per un valore negativo due complessi coniugati: Quindi puoi scegliere le radici in modo che si applichi \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) , dove \(i\) è l'unità immaginaria con \(i^2=-1\) è. Non esiste distinzione tra casi e coefficienti complessi; la formula si applica con entrambe le radici quadrate:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
Per \(n=3\) la formula di Cardano è scritta direttamente in \(a,b,c,d\) . La lettera \(k\) è solo un indice di soluzione: i valori \(1,2,3\) scelgono i tre zeri, nessun'altra quantità ausiliaria. Il potere contiene una terza radice primitiva dell'unità scritta. Ogni simbolo di radice rappresenta qualsiasi radice complessa; un'espressione ripetuta deve denotare ovunque lo stesso valore. Solo con \(b^2-3ac=0\) la radice quadrata interna deve avere il valore \(2b^3-9abc+27a^2d\) , altrimenti il radicando della radice cubica diventa zero:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) mostra come funziona la determinazione della radice quadrata interna: Qui \(b^2-3ac=0\) e \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) . Con il valore \(27\) invece di \(-27\) la radice cubica sarebbe \(\frac{-27+27}{2}=0\) e la formula non sarebbe valutabile. La condizione posta nell'equazione iniziale esclude esattamente il caso in cui entrambe le espressioni siano nulle e la radice cubica quindi scompaia sempre. L'equazione quindi ha un triplo zero e non è coperta dalla formula qui fornita.
Per i coefficienti cubici reali, il segno di \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) determina gli zeri: un valore positivo significa tre diverse soluzioni reali, un valore negativo significa una reale e due non reali, a zero sono tutte reali con ripetizioni. Nel primo caso, questa formula di Cardano impone valori intermedi complessi. Le formule radicali sono algebricamente esatte, ma non sempre numericamente stabili: valori intermedi quasi identici possono costare cifre nei calcoli in virgola mobile; se necessario, viene utilizzata una precisione maggiore.
Per \(n=4\) anche la formula di Ferrari è scritta completamente in \(a,b,c,d,e\) . L'indice \(k\) va da \(1\) a \(4\) ; le potenze di \(-1\) catturano tutte e quattro le combinazioni di segni e accoppiano le radici in modo appropriato. Le stesse espressioni radice denotano lo stesso valore, anche per diversi \(k\) . Poiché \(c^2-3bd+12ae=0\) \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) è il valore della radice quadrata interna. Le condizioni dell'equazione iniziale impediscono la divisione per zero; ogni zero viene registrato con la sua molteplicità:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
La prima condizione esclude i polinomi simmetrici rispetto alla posizione \(x=-\frac{b}{4a}\) , comprese le equazioni biquadratiche con \(b=d=0\) come \(x^4-5x^2+4=0\) . Lì la prima grande radice può diventare zero e quindi è al denominatore. La seconda condizione esclude almeno un triplo zero, ad esempio con \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) : Qui la radice cubica scompare al denominatore. I casi particolari esclusi non rientrano nella formula in scatola; ulteriori formule di soluzione vengono omesse qui.
Da \(n=5\) anche la migliore capacità di memorizzazione non aiuta: non esiste una formula generale composta da un numero finito di operazioni aritmetiche di base e radici. Questo è ciò che dice il teorema di Abel-Ruffini ; una dimostrazione può essere trovata nella teoria di Milne Fields e Galois . Le singole equazioni possono ancora essere risolte utilizzando i radicali. E rimangono altri valori approssimativi e funzioni speciali, come il radicale di Bring al quinto grado. Quindi non scompaiono gli zeri, ma solo la prospettiva di una formula di radice universale.