Rumus tengah wengi entuk jenenge saka syarat sekolah: sampeyan kudu bisa maca rumus solusi kanggo persamaan kuadrat sanajan sampeyan wis tangi ing tengah wengi. Ing tingkat katelu lan papat, game pamikiran iki dadi luwih nuntut. Ana uga rumus tertutup kanggo iki nggunakake aritmetika dhasar lan werna, nanging luwih dawa. Ing kene kabeh ana ing koefisien asli \(a,b,c,d,e\) , tanpa variabel tambahan lan kanthi kondisi sing dibutuhake.
Koefisien anjog tansah nyukupi \(a\ne0\) ; yen ora drajat mudhun. We are looking for kabeh nul Komplek kalebu kelipatan. Ing kasus linear \(n=1\) koefisien \(a\) lan \(b\) cukup: persamaan bisa ditanggulangi langsung kanggo \(x\) lan duwe persis siji nol prasaja. Iki uga ditrapake kanggo koefisien kompleks. Kanggo \(a=0\) Nanging, ora ana solusi kanggo \(b\ne0\) ; yaiku \(a=b=0\) , saben kompleks \(x\) minangka solusi. Kanggo persamaan linear nyata siji entuk:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
Kanggo \(n=2\) persamaan kuadrat ngandhut koefisien \(a,b,c\) . Kanthi \(k=1,2\) \((-1)^k\) ngganti tandha lan ngasilake loro nul kalebu kelipatan. Kanggo koefisien nyata ana rong solusi nyata sing beda kanggo \(b^2-4ac>0\) , kanggo \(b^2-4ac=0\) sing dobel lan kanggo nilai negatif loro kompleks konjugat: Banjur sampeyan bisa milih werna supaya \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) applies karo \ \(i\) \(i^2=-1\) iku. Ora ana bedane kasus kanggo koefisien kompleks; rumus ditrapake karo loro werna kothak:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
Kanggo \(n=3\) rumus Cardano ditulis langsung ing \(a,b,c,d\) . Huruf \(k\) mung minangka indeks solusi: nilai \(1,2,3\) milih telung nol, ora ana jumlah tambahan liyane. Kekuwatan kasebut ngemot akar katelu primitif saka kesatuan . Saben simbol ROOT nggantosi sembarang ROOT Komplek; ekspresi sing bola-bali kudu nuduhake nilai sing padha ing endi wae. Mung kanthi \(b^2-3ac=0\) akar kuadrat njero kudu duwe nilai \(2b^3-9abc+27a^2d\) , yen ora, radican akar kubus dadi nol:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) nuduhake cara kerjane penentuan akar kuadrat jero: Ing kene \(b^2-3ac=0\) lan \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) . Kanthi nilai \(27\) tinimbang \(-27\) root kubus bakal dadi \(\frac{-27+27}{2}=0\) lan rumus ora bisa dievaluasi. Kahanan ing persamaan awal ora kalebu kasus sing loro ekspresi kasebut nol lan oyod kubus mulane tansah ilang. Persamaan kasebut banjur duwe nol telu lan ora kalebu rumus sing diwenehake ing kene.
Kanggo koefisien kubik nyata, tandha \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) nemtokake nul: Nilai positif tegese telung solusi nyata sing beda, nilai negatif tegese siji nyata lan loro non-nyata, ing nol kabeh nyata kanthi repetisi. Ing kasus sing sepisanan, rumus Cardano iki meksa nilai penengah sing kompleks. Rumus radikal kanthi aljabar pas, nanging ora mesthi stabil sacara numerik: nilai penengah sing meh padha bisa biaya digit ing petungan titik ngambang; yen perlu, presisi sing luwih dhuwur digunakake.
Kanggo \(n=4\) rumus Ferrari uga ditulis kanthi lengkap ing \(a,b,c,d,e\) . Indeks \(k\) mlaku saka \(1\) nganti \(4\) ; kakuwasan saka \(-1\) dijupuk kabeh papat kombinasi tandha lan saperangan werna cocok. Ekspresi root sing padha nuduhake nilai sing padha, sanajan beda \(k\) . Kanggo \(c^2-3bd+12ae=0\) \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) iku nilai saka akar kuadrat njero. Kondisi ing persamaan awal nyegah divisi kanthi nol; saben nul direkam karo multiplicity sawijining:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
Kahanan pisanan ora kalebu polinomial sing simetris babagan posisi \(x=-\frac{b}{4a}\) , kalebu persamaan biquadratic karo \(b=d=0\) kayata \(x^4-5x^2+4=0\) . Ing kana, oyod gedhe pisanan bisa dadi nol lan banjur ana ing denominator. Kahanan kapindho ora kalebu paling ora telung nol, contone karo \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) : Ing kene akar kubus ilang ing denominator. Kasus khusus sing ora kalebu ora dilindhungi rumus kothak; rumus solusi tambahan tilar kene.
Saka \(n=5\) malah katrampilan pangeling-eling sing paling apik ora mbantu: ora ana rumus umum sing digawe saka sawetara operasi aritmetika dhasar lan oyod. Iki minangka teorema Abel-Ruffini ; bukti bisa ditemokake ing Milne's Fields lan Teori Galois . Persamaan individu isih bisa ditanggulangi kanthi nggunakake radikal. Lan nilai kira-kira lan fungsi khusus liyane tetep, kayata radikal Bring ing tingkat kalima. Dadi nol ora ilang, mung prospek rumus root universal.