真夜中の公式の名前は、学校の要件に由来しています。夜中に起こされても二次方程式の解の公式を暗唱できるようにする必要があります。 3 度および 4 度になると、この思考ゲームはさらに要求が厳しくなります。基本的な算術演算と根を使用したこれに対する閉じた公式もありますが、かなり長くなります。ここで、それらは完全に元の係数\(a,b,c,d,e\)にあり、補助変数も必要な条件もありません。
先頭の係数は常に\(a\ne0\)を満たします。そうしないと学位が下がります。倍数を含むすべての複素ゼロを探します。線形の場合\(n=1\)では、係数\(a\)と\(b\)で十分です。方程式は\(x\)について直接解くことができ、単純なゼロが 1 つだけあります。これは複素係数にも当てはまります。ただし、 \(a=0\)の場合、 \(b\ne0\)の解はありません。 \(a=b=0\)である場合、すべての複素数\(x\)は解になります。実際の線形方程式については、次のようになります。:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
\(n=2\)の場合、二次方程式には係数\(a,b,c\)が含まれます。 \(k=1,2\)の場合、 \((-1)^k\)符号を変更し、倍数を含む両方のゼロを返します。実数係数の場合\(b^2-4ac>0\)には 2 つの異なる実解があり、 \(b^2-4ac=0\)には倍精度の実数解が、負の値には 2 つの共役複素数が適用されます。 次に\(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\)適用されるように根を選択できます。 ここで\(i\)は\(i^2=-1\)の虚数単位です。です。複素係数には大文字と小文字の区別はありません。式は両方の平方根に適用されます:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
\(n=3\)の場合、カルダノの式は\(a,b,c,d\)に直接書き出されます。文字\(k\)は単なる解のインデックスです。値\(1,2,3\)は 3 つのゼロを選択し、他の補助量は選択しません。べき乗には、書き出された 1 の原始 3 番目の根が含まれています。各ルート記号は任意の複雑なルートを表します。繰り返される式はどこでも同じ値を示す必要があります。 \(b^2-3ac=0\)の場合のみ、内側の平方根の値が\(2b^3-9abc+27a^2d\)でなければなりません。それ以外の場合、立方根のラジカンドはゼロになります。:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\)は、内側の平方根の決定がどのように機能するかを示しています。ここでは\(b^2-3ac=0\)と\(2b^3-9abc+27a^2d=-27\)です。 \(27\) \(-27\)の値を使用すると、立方根は\(\frac{-27+27}{2}=0\)となり、数式は評価できなくなります。初期方程式の条件は、両方の式がゼロであり、したがって立方根が常に消失するケースを正確に除外します。この場合、方程式には 3 つのゼロが含まれており、ここで示した式ではカバーされません。
実数の 3 次係数の場合、 \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\)の符号によってゼロが決まります。正の値は 3 つの異なる実数解を意味し、負の値は 1 つの実数と 2 つの非実数を意味し、0 ではすべてが繰り返しの実数になります。最初のケースでは、このカルダノ式は複雑な中間値を強制します。ラジカル式は代数的に正確ですが、数値的に常に安定しているわけではありません。ほぼ同一の中間値は、浮動小数点計算で桁数がかかる可能性があります。必要に応じて、より高い精度が使用されます。
\(n=4\)の場合、フェラーリの式も\(a,b,c,d,e\)で完全に記述されます。インデックス\(k\)は\(1\)から\(4\)まで実行されます。 \(-1\)の累乗は 4 つの符号の組み合わせをすべて捉え、ルートを適切に結合します。同じルート式は、異なる\(k\)であっても同じ値を表します。 \(c^2-3bd+12ae=0\)の場合\(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\)は内側の平方根の値です。最初の方程式の条件により、ゼロによる除算は禁止されています。すべてのゼロはその多重度とともに記録されます:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
最初の条件では\(x^4-5x^2+4=0\) 4=0\) などの\(b=d=0\)を含む四次方程式を含む、位置\(x=-\frac{b}{4a}\)に関して対称な多項式が除外されます。そこでは、最初の大きな根がゼロになる可能性があり、分母になります。 2 番目の条件では、少なくとも 3 つのゼロが除外されます。たとえば\(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\)です。ここでは、分母の立方根が消えます。除外された特殊なケースは、ボックス内の公式ではカバーされません。追加の解の公式はここでは省略します。
\(n=5\)からは、どんなに優れた暗記スキルでも役に立ちません。有限数の基本的な算術演算と根から構成される一般的な公式は存在しません。これがアーベル・ルフィニの定理の言うことです。証明はミルンの体とガロア理論にあります。個々の方程式は根号を使用して解くことができます。そして、5 次のブリングの根号など、他の近似値や特別な関数も残ります。したがって、ゼロは消えるのではなく、普遍的なルート公式の可能性が残るだけです。