Midnattsformeln har fått sitt namn från ett skolkrav: du ska kunna recitera lösningsformeln för andragradsekvationer även om du blir väckt mitt i natten. Vid tredje och fjärde graden blir detta tankespel mycket mer krävande. Det finns också slutna formler för detta med grundläggande aritmetik och rötter, men de är betydligt längre. Här är de helt i de ursprungliga koefficienterna \(a,b,c,d,e\) , utan hjälpvariabler och med nödvändiga villkor.
Den ledande koefficienten uppfyller alltid \(a\ne0\) ; annars sjunker graden. Vi letar efter alla komplexa nollor inklusive multiplar. I det linjära fallet \(n=1\) är koefficienterna \(a\) och \(b\) tillräckliga: ekvationen kan lösas direkt för \(x\) och har exakt en enkel nolla. Detta gäller även för komplexa koefficienter. För \(a=0\) finns det dock ingen lösning för \(b\ne0\) ; är \(a=b=0\) , är varje komplex \(x\) en lösning. För den faktiska linjära ekvationen får man:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
För \(n=2\) innehåller andragradsekvationen koefficienterna \(a,b,c\) . Med \(k=1,2\) ändrar \((-1)^k\) tecknet och returnerar båda nollorna inklusive multipler. För reella koefficienter finns det två olika reella lösningar för \(b^2-4ac>0\) , för \(b^2-4ac=0\) en dubbel och för ett negativt värde två konjugerade komplex: Sedan kan du välja rötterna så att \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) \(i\) imaginära enheten) \(i^2=-1\) är. Det finns ingen fallskillnad för komplexa koefficienter; formeln gäller med båda kvadratrötter:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
För \(n=3\) skrivs Cardanos formel direkt i \(a,b,c,d\) . Bokstaven \(k\) är bara ett lösningsindex: värdena \(1,2,3\) väljer de tre nollorna, ingen annan extra kvantitet. Kraften innehåller en utskriven primitiv tredje rot av enhet . Varje rotsymbol representerar vilken komplex rot som helst; ett upprepat uttryck måste ange samma värde överallt. Endast med \(b^2-3ac=0\) måste den inre kvadratroten ha värdet \(2b^3-9abc+27a^2d\) , annars blir kubrotens radikand noll:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) visar hur bestämningen av den inre kvadratroten fungerar: Här \(b^2-3ac=0\) och \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) . Med värdet \(27\) istället för \(-27\) skulle kubroten vara \(\frac{-27+27}{2}=0\) och formeln skulle inte kunna utvärderas. Villkoret under den initiala ekvationen utesluter exakt fallet där båda uttrycken är noll och kubroten därför alltid försvinner. Ekvationen har då en trippel noll och omfattas inte av formeln som ges här.
För reella kubiska koefficienter bestämmer tecknet för \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) nollorna: Ett positivt värde betyder tre olika reella lösningar, ett negativt värde betyder en reell och två icke-reella, vid noll är alla reella med upprepningar. I det första fallet tvingar denna Cardano-formel fram komplexa mellanvärden. Radikala formler är algebraiskt exakta, men inte alltid numeriskt stabila: nästan identiska mellanvärden kan kosta siffror i flyttalsberäkningar; vid behov används högre precision.
För \(n=4\) är Ferraris formel också utskriven helt i \(a,b,c,d,e\) . Indexet \(k\) går från \(1\) till \(4\) ; potenserna för \(-1\) fångar alla fyra teckenkombinationer och kopplar rötterna på lämpligt sätt. Samma rotuttryck betecknar samma värde, även för olika \(k\) . För \(c^2-3bd+12ae=0\) \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) är värdet på den inre kvadratroten. Villkoren under den initiala ekvationen förhindrar division med noll; varje nolla registreras med dess multiplicitet:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
Det första villkoret exkluderar polynom som är symmetriska kring positionen \(x=-\frac{b}{4a}\) , inklusive bikvadratiska ekvationer med \(b=d=0\) såsom \(x^4-5x^2+4=0\) . Där kan den första stora roten bli noll och ligger då i nämnaren. Det andra villkoret utesluter åtminstone en trippel nolla, till exempel med \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) : Här försvinner kubroten i nämnaren. De undantagna specialfallen omfattas inte av den inramade formeln; ytterligare lösningsformler utelämnas här.
Från \(n=5\) hjälper inte ens de bästa memoreringsfärdigheterna: det finns ingen generell formel som består av ett ändligt antal grundläggande aritmetiska operationer och rötter. Detta är vad Abel–Ruffinis sats säger; ett bevis kan hittas i Milne's Fields and Galois Theory . Individuella ekvationer kan fortfarande lösas med hjälp av radikaler. Och andra ungefärliga värden och speciella funktioner finns kvar, som Brings radikala i femte graden. Så nollorna försvinner inte, bara utsikten till en universell rotformel.