La formule de minuit tire son nom d'une exigence scolaire : vous devriez être capable de réciter la formule de solution d'équations quadratiques même si vous êtes réveillé au milieu de la nuit. Aux troisième et quatrième degrés, ce jeu de réflexion devient beaucoup plus exigeant. Il existe également des formules fermées pour cela utilisant l'arithmétique de base et les racines, mais elles sont considérablement plus longues. Ici ils sont entièrement dans les coefficients originaux \(a,b,c,d,e\) , sans variables auxiliaires et avec les conditions nécessaires.
Le coefficient dominant satisfait toujours \(a\ne0\) ; sinon le diplôme baisse. Nous recherchons tous les zéros complexes, y compris les multiples. Dans le cas linéaire \(n=1\) les coefficients \(a\) et \(b\) suffisent : l'équation peut être résolue directement pour \(x\) et a exactement un zéro simple. Cela s'applique également aux coefficients complexes. Pour \(a=0\) cependant, il n'y a pas de solution pour \(b\ne0\) ; sont \(a=b=0\) , chaque complexe \(x\) est une solution. Pour l’équation linéaire réelle, on obtient:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
Pour \(n=2\) l' équation quadratique contient les coefficients \(a,b,c\) . Avec \(k=1,2\) \((-1)^k\) change le signe et renvoie les deux zéros, multiples compris. Pour les coefficients réels, il existe deux solutions réelles différentes pour \(b^2-4ac>0\) , pour \(b^2-4ac=0\) une double et pour une valeur négative deux complexes conjugués : Ensuite, vous pouvez choisir les racines de sorte que \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) s'applique, où \(i\) est l'unité imaginaire avec \(i^2=-1\) . Il n'y a pas de distinction de cas pour les coefficients complexes ; la formule s'applique aux deux racines carrées:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
Pour \(n=3\) la formule de Cardano est écrite directement dans \(a,b,c,d\) . La lettre \(k\) n'est qu'un indice de solution : les valeurs \(1,2,3\) choisissent les trois zéros, aucune autre quantité auxiliaire. Le pouvoir contient une troisième racine primitive écrite de l'unité . Chaque symbole racine représente n’importe quelle racine complexe ; une expression répétée doit désigner partout la même valeur. Ce n'est qu'avec \(b^2-3ac=0\) que la racine carrée intérieure doit avoir la valeur \(2b^3-9abc+27a^2d\) , sinon la radicande de la racine cubique devient nulle:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) montre comment fonctionne la détermination de la racine carrée interne : ici \(b^2-3ac=0\) et \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) . Avec la valeur \(27\) au lieu de \(-27\) , la racine cubique serait \(\frac{-27+27}{2}=0\) et la formule ne serait pas évaluable. La condition sous l’équation initiale exclut exactement le cas dans lequel les deux expressions sont nulles et la racine cubique disparaît donc toujours. L'équation a alors un triple zéro et n'est pas couverte par la formule donnée ici.
Pour les coefficients cubiques réels, le signe de \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) détermine les zéros : Une valeur positive signifie trois solutions réelles différentes, une valeur négative signifie une réelle et deux non réelles, à zéro toutes sont réelles avec des répétitions. Dans le premier cas, cette formule de Cardano force des valeurs intermédiaires complexes. Les formules radicales sont algébriquement exactes, mais pas toujours numériquement stables : des valeurs intermédiaires presque identiques peuvent coûter des chiffres dans les calculs en virgule flottante ; si nécessaire, une précision plus élevée est utilisée.
Pour \(n=4\) la formule de Ferrari est également écrite entièrement en \(a,b,c,d,e\) . L'index \(k\) va de \(1\) à \(4\) ; les puissances de \(-1\) capturent les quatre combinaisons de signes et couplent les racines de manière appropriée. Les mêmes expressions racine désignent la même valeur, même pour \(k\) différents. Pour \(c^2-3bd+12ae=0\) \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) est la valeur de la racine carrée intérieure. Les conditions de l'équation initiale empêchent la division par zéro ; chaque zéro est enregistré avec sa multiplicité:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
La première condition exclut les polynômes symétriques par rapport à la position \(x=-\frac{b}{4a}\) , y compris les équations biquadratiques avec \(b=d=0\) telles que \(x^4-5x^2+4=0\) . Là, la première grande racine peut devenir nulle et se trouve alors au dénominateur. La deuxième condition exclut au moins un triple zéro, par exemple avec \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) : Ici la racine cubique disparaît au dénominateur. Les cas particuliers exclus ne sont pas couverts par la formule encadrée ; les formules de solution supplémentaires sont omises ici.
À partir de \(n=5\) même les meilleures capacités de mémorisation n’aident pas : il n’existe pas de formule générale composée d’un nombre fini d’opérations arithmétiques de base et de racines. C'est ce que dit le théorème d'Abel-Ruffini ; une preuve peut être trouvée dans Milne's Fields et Galois Theory . Les équations individuelles peuvent toujours être résolues à l’aide de radicaux. Et d'autres valeurs approximatives et fonctions spéciales subsistent, comme le radical de Bring au cinquième degré. Ainsi, les zéros ne disparaissent pas, seulement la perspective d'une formule racine universelle.