Công thức lúc nửa đêm được đặt tên theo yêu cầu của trường học: bạn có thể đọc thuộc lòng công thức giải phương trình bậc hai ngay cả khi bạn thức dậy vào giữa đêm. Ở cấp độ thứ ba và thứ tư, trò chơi tư duy này trở nên khắt khe hơn nhiều. Ngoài ra còn có các công thức đóng cho việc này sử dụng số học cơ bản và căn thức, nhưng chúng dài hơn đáng kể. Ở đây chúng hoàn toàn nằm trong các hệ số ban đầu \(a,b,c,d,e\) , không có biến phụ và có các điều kiện cần thiết.
Hệ số dẫn đầu luôn thỏa mãn \(a\ne0\) ; nếu không thì mức độ sẽ giảm xuống. Chúng tôi đang tìm kiếm tất cả các số 0 phức tạp bao gồm bội số. Trong trường hợp tuyến tính \(n=1\) các hệ số \(a\) và \(b\) là đủ: phương trình có thể được giải trực tiếp cho \(x\) và có chính xác một số 0 đơn giản. Điều này cũng áp dụng cho các hệ số phức tạp. Tuy nhiên, đối với \(a=0\) không có giải pháp nào cho \(b\ne0\) ; là \(a=b=0\) , mọi phức tạp \(x\) đều là một giải pháp. Đối với phương trình tuyến tính thực tế người ta thu được:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
Với \(n=2\) phương trình bậc hai chứa các hệ số \(a,b,c\) . Với \(k=1,2\) \((-1)^k\) thay đổi dấu và trả về cả hai số 0 bao gồm cả bội số. Đối với các hệ số thực, có hai nghiệm thực khác nhau cho \(b^2-4ac>0\) , cho \(b^2-4ac=0\) một nghiệm kép và cho một giá trị âm là hai phức liên hợp: Sau đó, bạn có thể chọn các nghiệm sao cho \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) áp dụng, trong đó \(i\) là đơn vị ảo với \(i^2=-1\) là. Không có sự phân biệt chữ hoa chữ thường đối với các hệ số phức; công thức áp dụng với cả căn bậc hai:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
Đối với \(n=3\) công thức của Cardano được viết trực tiếp bằng \(a,b,c,d\) . Chữ \(k\) chỉ là chỉ số giải: các giá trị \(1,2,3\) chọn ba số 0, không có đại lượng phụ nào khác. Sức mạnh chứa đựng một gốc thứ ba nguyên thủy được viết ra của sự thống nhất . Mỗi ký hiệu gốc đại diện cho bất kỳ gốc phức tạp nào; một biểu thức lặp lại phải biểu thị cùng một giá trị ở mọi nơi. Chỉ với \(b^2-3ac=0\) căn bậc hai bên trong mới phải có giá trị \(2b^3-9abc+27a^2d\) , nếu không thì căn bậc ba của căn bậc ba sẽ trở thành 0:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) cho biết cách xác định căn bậc hai bên trong hoạt động như thế nào: Tại đây \(b^2-3ac=0\) và \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) . Với giá trị \(27\) thay vì \(-27\) , căn bậc ba sẽ là \(\frac{-27+27}{2}=0\) và công thức sẽ không thể đánh giá được. Điều kiện theo phương trình ban đầu loại trừ chính xác trường hợp cả hai biểu thức đều bằng 0 và do đó căn bậc ba luôn biến mất. Khi đó phương trình có ba số 0 và không nằm trong công thức đưa ra ở đây.
Đối với các hệ số bậc ba thực, dấu của \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) xác định các số 0: Giá trị dương có nghĩa là ba nghiệm thực khác nhau, giá trị âm có nghĩa là một nghiệm thực và hai nghiệm không thực, tại 0, tất cả đều là nghiệm thực với sự lặp lại. Trong trường hợp đầu tiên, công thức Cardano này tạo ra các giá trị trung gian phức tạp. Các công thức căn thức chính xác về mặt đại số, nhưng không phải lúc nào cũng ổn định về mặt số: các giá trị trung gian gần như giống hệt nhau có thể tính bằng chữ số trong phép tính dấu phẩy động; nếu cần thiết, độ chính xác cao hơn sẽ được sử dụng.
Đối với \(n=4\) công thức của Ferrari cũng được viết hoàn toàn bằng \(a,b,c,d,e\) . Chỉ mục \(k\) chạy từ \(1\) đến \(4\) ; sức mạnh của \(-1\) nắm bắt tất cả bốn tổ hợp dấu hiệu và ghép các nghiệm một cách thích hợp. Các biểu thức gốc giống nhau biểu thị cùng một giá trị, ngay cả đối với \(k\) khác nhau. Vì \(c^2-3bd+12ae=0\) \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) là giá trị của căn bậc hai bên trong. Các điều kiện trong phương trình ban đầu ngăn cản việc chia cho 0; mọi số 0 được ghi lại với bội số của nó:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
Điều kiện đầu tiên loại trừ các đa thức đối xứng về vị trí \(x=-\frac{b}{4a}\) , bao gồm các phương trình hai bậc hai với \(b=d=0\) chẳng hạn như \(x^4-5x^2+4=0\) . Ở đó căn lớn đầu tiên có thể trở thành số 0 và sau đó nằm trong mẫu số. Điều kiện thứ hai loại trừ ít nhất một bộ ba số 0, ví dụ như với \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) : Ở đây căn bậc ba biến mất trong mẫu số. Các trường hợp đặc biệt bị loại trừ không nằm trong công thức đóng hộp; công thức giải pháp bổ sung được bỏ qua ở đây.
Từ \(n=5\) ngay cả những kỹ năng ghi nhớ tốt nhất cũng không giúp ích được gì: không có công thức chung nào được tạo thành từ một số hữu hạn các phép tính và nghiệm số học cơ bản. Đây là điều mà định lý Abel–Ruffini nói; một bằng chứng có thể được tìm thấy trong Lý thuyết Cánh đồng và Galois của Milne . Các phương trình riêng lẻ vẫn có thể được giải bằng cách sử dụng căn thức. Và các giá trị gần đúng khác và các hàm đặc biệt vẫn được giữ nguyên, chẳng hạn như căn bậc 5 của Bring. Vì vậy, các số 0 không biến mất, chỉ có triển vọng về một công thức nghiệm phổ quát.