حصلت صيغة منتصف الليل على اسمها من متطلبات المدرسة: يجب أن تكون قادرًا على قراءة صيغة حل المعادلات التربيعية حتى لو استيقظت في منتصف الليل. في الدرجتين الثالثة والرابعة، تصبح لعبة التفكير هذه أكثر تطلبًا. هناك أيضًا صيغ مغلقة لهذا باستخدام الحساب الأساسي والجذور، لكنها أطول بكثير. إنهم هنا بالكامل في المعاملات الأصلية \(a,b,c,d,e\) ، بدون متغيرات مساعدة وبالشروط اللازمة.
يرضي المعامل الرئيسي دائمًا \(a\ne0\) ؛ وإلا تنخفض الدرجة. نحن نبحث عن جميع الأصفار المعقدة بما في ذلك المضاعفات. في الحالة الخطية \(n=1\) يكون المعاملان \(a\) و \(b\) كافيين: يمكن حل المعادلة مباشرة من أجل \(x\) ولها صفر بسيط واحد بالضبط. وهذا ينطبق أيضًا على المعاملات المعقدة. بالنسبة إلى \(a=0\) لا يوجد حل لـ \(b\ne0\) ؛ هي \(a=b=0\) ، كل مركب \(x\) هو الحل. للحصول على المعادلة الخطية الفعلية يحصل المرء:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
بالنسبة إلى \(n=2\) تحتوي المعادلة التربيعية على المعاملات \(a,b,c\) . مع \(k=1,2\) \((-1)^k\) يغير العلامة ويعيد كلا الصفرين بما في ذلك المضاعفات. بالنسبة للمعاملات الحقيقية، يوجد حلان حقيقيان مختلفان لـ \(b^2-4ac>0\) ولـ \(b^2-4ac=0\) حل مزدوج ولقيمة سالبة مجمعان مترافقان: ثم يمكنك اختيار الجذور بحيث ينطبق \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) حيث \(i\) هي الوحدة التخيلية مع \(i^2=-1\) هو. لا يوجد تمييز حالة للمعاملات المعقدة؛ تنطبق الصيغة مع كلا الجذرين التربيعيين:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
بالنسبة إلى \(n=3\) يتم كتابة صيغة كاردانو مباشرة في \(a,b,c,d\) . الحرف \(k\) هو مجرد فهرس حل: القيم \(1,2,3\) تختار الأصفار الثلاثة، لا كمية مساعدة أخرى. تحتوي القوة على جذر ثالث بدائي مكتوب للوحدة . يمثل كل رمز جذر أي جذر معقد؛ يجب أن يشير التعبير المتكرر إلى نفس القيمة في كل مكان. فقط مع \(b^2-3ac=0\) يجب أن تكون قيمة الجذر التربيعي الداخلي \(2b^3-9abc+27a^2d\) ، وإلا يصبح جذر الجذر التكعيبي صفرًا:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) يوضح كيفية تحديد الجذر التربيعي الداخلي: هنا \(b^2-3ac=0\) و \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) . باستخدام القيمة \(27\) بدلاً من \(-27\) سيكون الجذر التكعيبي \(\frac{-27+27}{2}=0\) ولن تكون الصيغة قابلة للتقييم. الشرط الموجود في المعادلة الأولية يستبعد تمامًا الحالة التي يكون فيها كلا التعبيرين صفرًا وبالتالي يختفي الجذر التكعيبي دائمًا. إذن، تحتوي المعادلة على صفر ثلاثي ولا تغطيها الصيغة الواردة هنا.
بالنسبة للمعاملات التكعيبية الحقيقية، فإن علامة \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) تحدد الأصفار: القيمة الموجبة تعني ثلاثة حلول حقيقية مختلفة، والقيمة السالبة تعني واحد حقيقي واثنين غير حقيقيين، عند الصفر كلها حقيقية مع التكرار. في الحالة الأولى، تفرض صيغة كاردانو هذه قيمًا متوسطة معقدة. الصيغ الجذرية دقيقة جبريًا، ولكنها ليست دائمًا مستقرة عدديًا: يمكن أن تكلف القيم الوسيطة المتطابقة تقريبًا أرقامًا في حسابات الفاصلة العائمة؛ إذا لزم الأمر، يتم استخدام دقة أعلى.
بالنسبة إلى \(n=4\) تمت كتابة صيغة فيراري أيضًا بالكامل في \(a,b,c,d,e\) . يمتد الفهرس \(k\) من \(1\) إلى \(4\) ؛ تلتقط قوى \(-1\) جميع مجموعات الإشارات الأربعة وتجمع الجذور بشكل مناسب. تشير نفس التعبيرات الجذرية إلى نفس القيمة، حتى بالنسبة لـ \(k\) مختلفة. بالنسبة لـ \(c^2-3bd+12ae=0\) \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) هي قيمة الجذر التربيعي الداخلي. الشروط الموجودة في المعادلة الأولية تمنع القسمة على صفر؛ ويسجل كل صفر بتعدده:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
يستثني الشرط الأول كثيرات الحدود المتماثلة حول الموضع \(x=-\frac{b}{4a}\) ، بما في ذلك المعادلات التربيعية مع \(b=d=0\) مثل \(x^4-5x^2+4=0\) . هناك يمكن أن يصبح الجذر الكبير الأول صفرًا ثم يصبح في المقام. الشرط الثاني يستثني الصفر الثلاثي على الأقل، على سبيل المثال مع \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) : هنا يختفي الجذر التكعيبي في المقام. الحالات الخاصة المستبعدة لا تغطيها الصيغة المعبأة؛ تم حذف صيغ الحلول الإضافية هنا.
من \(n=5\) حتى أفضل مهارات الحفظ لا تساعد: لا توجد صيغة عامة تتكون من عدد محدود من العمليات الحسابية الأساسية والجذور. وهذا ما تقوله نظرية أبيل-روفيني ؛ يمكن العثور على دليل في حقول ميلن ونظرية جالوا . لا يزال من الممكن حل المعادلات الفردية باستخدام الجذور. وتبقى قيم تقريبية أخرى ودوال خاصة مثل جذر برينغ عند الدرجة الخامسة. لذا فإن الأصفار لا تختفي، فقط احتمال وجود صيغة جذر عالمية.