La fórmula de medianoche recibe su nombre de un requisito escolar: debes poder recitar la fórmula de solución de ecuaciones cuadráticas incluso si te despiertan en medio de la noche. En el tercer y cuarto grado, este juego de pensamientos se vuelve mucho más exigente. También existen fórmulas cerradas para esto que utilizan aritmética básica y raíces, pero son considerablemente más largas. Aquí están completamente en los coeficientes originales \(a,b,c,d,e\) , sin variables auxiliares y con las condiciones necesarias.
El coeficiente principal siempre satisface \(a\ne0\) ; de lo contrario, el grado baja. Buscamos todos los ceros complejos, incluidos los múltiplos. En el caso lineal \(n=1\) los coeficientes \(a\) y \(b\) son suficientes: la ecuación se puede resolver directamente para \(x\) y tiene exactamente un cero simple. Esto también se aplica a coeficientes complejos. Para \(a=0\) sin embargo, no hay solución para \(b\ne0\) ; son \(a=b=0\) , todo complejo \(x\) es una solución. Para la ecuación lineal real se obtiene:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
Para \(n=2\) la ecuación cuadrática contiene los coeficientes \(a,b,c\) . Con \(k=1,2\) \((-1)^k\) cambia el signo y devuelve ambos ceros incluidos los múltiplos. Para coeficientes reales hay dos soluciones reales diferentes para \(b^2-4ac>0\) , para \(b^2-4ac=0\) una doble y para un valor negativo dos complejos conjugados: Luego puedes elegir las raíces de manera que se aplique \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) , donde \(i\) es la unidad imaginaria con \(i^2=-1\) . No existe distinción de casos para coeficientes complejos; la fórmula se aplica con ambas raíces cuadradas:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
Para \(n=3\) la fórmula de Cardano se escribe directamente en \(a,b,c,d\) . La letra \(k\) es sólo un índice de solución: los valores \(1,2,3\) eligen los tres ceros, ninguna otra cantidad auxiliar. La potencia contiene una tercera raíz primitiva de unidad escrita. Cada símbolo de raíz representa cualquier raíz compleja; una expresión repetida debe denotar el mismo valor en todas partes. Sólo con \(b^2-3ac=0\) la raíz cuadrada interna tiene que tener el valor \(2b^3-9abc+27a^2d\) , de lo contrario el radicando de la raíz cúbica se vuelve cero:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) muestra cómo funciona la determinación de la raíz cuadrada interna: Aquí \(b^2-3ac=0\) y \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) . Con el valor \(27\) en lugar de \(-27\) la raíz cúbica sería \(\frac{-27+27}{2}=0\) y la fórmula no sería evaluable. La condición bajo la ecuación inicial excluye exactamente el caso en el que ambas expresiones son cero y, por lo tanto, la raíz cúbica siempre desaparece. La ecuación entonces tiene un triple cero y no está cubierta por la fórmula dada aquí.
Para coeficientes cúbicos reales, el signo de \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) determina los ceros: un valor positivo significa tres soluciones reales diferentes, un valor negativo significa una real y dos no reales, en cero todas son reales con repeticiones. En el primer caso, esta fórmula de Cardano fuerza valores intermedios complejos. Las fórmulas radicales son algebraicamente exactas, pero no siempre numéricamente estables: valores intermedios casi idénticos pueden costar dígitos en cálculos de punto flotante; si es necesario, se utiliza una mayor precisión.
Para \(n=4\) la fórmula de Ferrari también está escrita completamente en \(a,b,c,d,e\) . El índice \(k\) va de \(1\) a \(4\) ; las potencias de \(-1\) capturan las cuatro combinaciones de signos y acoplan las raíces de manera apropiada. Las mismas expresiones raíz denotan el mismo valor, incluso para \(k\) diferentes. Para \(c^2-3bd+12ae=0\) \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) es el valor de la raíz cuadrada interna. Las condiciones bajo la ecuación inicial impiden la división por cero; cada cero se registra con su multiplicidad:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
La primera condición excluye los polinomios que son simétricos con respecto a la posición \(x=-\frac{b}{4a}\) , incluidas las ecuaciones bicuadráticas con \(b=d=0\) como \(x^4-5x^2+4=0\) . Allí, la primera raíz grande puede convertirse en cero y luego estar en el denominador. La segunda condición excluye al menos un triple cero, por ejemplo con \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) : aquí la raíz cúbica desaparece en el denominador. Los casos especiales excluidos no están cubiertos por la fórmula del recuadro; Aquí se omiten fórmulas de solución adicionales.
A partir de \(n=5\) ni siquiera las mejores habilidades de memorización ayudan: no existe una fórmula general formada por un número finito de operaciones aritméticas básicas y raíces. Esto es lo que dice el teorema de Abel-Ruffini ; se puede encontrar una prueba en la teoría de Galois y Fields de Milne . Las ecuaciones individuales todavía se pueden resolver usando radicales. Y quedan otros valores aproximados y funciones especiales, como el radical de Bring en quinto grado. Así que los ceros no desaparecen, sólo la perspectiva de una fórmula raíz universal.