Formula mediae noctis nomen habet ex necessitate scholae: solutionem aequationum quadraticarum recitare possis etiam si in media nocte experrectus sis. In tertio et quarto gradu haec cogitatio ludus multo gravius evadit. Clausae sunt formulae huius utendi basic arithmeticae et radices, sed aliquanto longiores. Hic omnino in coefficientibus originalibus \(a,b,c,d,e\) sunt, sine variantibus auxiliis et condicionibus necessariis.
Coefficiens principans semper \(a\ne0\) satisfacit ; secus gradus guttae. Quaerimus omnes cyphras complexi inclusis multiplicibus. In casu lineari \(n=1\) sufficiunt coefficientes \(a\) et \(b\) : aequatio directe solvi potest pro \(x\) et nullam prorsus habet simplicem. Idem valet de coëfficientibus complexis. Nam \(a=0\) nulla est solutio \(b\ne0\) ; sunt \(a=b=0\) , omnis iuncta \(x\) solutio est. Pro aequatione lineari ipsa obtinet:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
Nam \(n=2\) aequatio quadratica coefficientes \(a,b,c\) continet . Cum \(k=1,2\) \((-1)^k\) mutat signum et redit utrumque cyphris inter multiplices. Nam coefficientes reales duae sunt diversae solutiones reales pro \(b^2-4ac>0\) , pro \(b^2-4ac=0\) duplicem unum et valorem negativum duo complexus conjugatus: Tunc radices eligere potes ut \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) \(i\) sit, ubi unitas cum \(i^2=-1\) sit. Non est causa distinctionis coefficientium complexorum; formula convenit cum utraque quadrata radices:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
Pro \(n=3\) Cardani formula directe exscripta est in \(a,b,c,d\) . Littera \(k\) iusta est index solutionis: valores \(1,2,3\) cyphris, nulla alia quantitas auxiliaris. Potestas continet perscriptam tertiam primitivam unitatis radicem . Quaelibet radix figurae quamlibet radicem compositam repraesentat; repetita expressio eundem valorem ubique denotare debet. Tantum cum \(b^2-3ac=0\) radix quadrata interna vim habere debet \(2b^3-9abc+27a^2d\) , alioquin radicis cubici nulla fit.:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) ostendit quomodo determinatio radicis quadratae interioris opera: Hic \(b^2-3ac=0\) et \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) . Valore loco \(27\) \(-27\) radix cubica esset \(\frac{-27+27}{2}=0\) et formula non aestimari potest. Conditio sub aequatione initiali prorsus excludit casum, in quo utraque vox nulla est, et radix cubica propterea semper evanescit. Aequatio ergo triplicem zerum habet nec tegitur formula hic data.
Pro coefficientibus realibus cubicis, signum \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) determinat zeros: Valor affirmativus tres solutiones reales significat, valorem negativum unum realem ac duos non reales significat, in nihilo omnes repetitiones reales sunt. In primo casu haec Cardano formulae complicatas intermedias intricatas. Formulae radicales algebraice exactae sunt, sed non semper numero stabilis: valores fere intermedii digiti constant in puncto calculi fluctuantes; si opus est, subtilius adhibetur.
Pro \(n=4\) etiam Ferrarii formula in \(a,b,c,d,e\) omnino exscripta est . Index \(k\) decurrit ab \(1\) ad \(4\) ; potentiae \(-1\) capiunt omnes quattuor coniunctiones signi et radices convenienter copulant. Eaedem expressiones radicales eundem valorem, etiam pro diversis \(k\) significant. Nam \(c^2-3bd+12ae=0\) \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) est valor radicis quadratae interioris. Conditiones sub aequatione initiali ne divisionem per nulla; omnis nulla est cum suis multiplicitate:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
Prima conditio excludit polynomias quae symmetricas circa positionem \(x=-\frac{b}{4a}\) , inter aequationes biquadraticas cum \(b=d=0\) ut \(x^4-5x^2+4=0\) . Prima radix magna ibi nulla fieri potest et tunc in denominatore est. Secunda conditio triplum nihilo minus excludit, exempli gratia cum \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) : Hic radix cubica in denominatore evanescit. Exclusi speciales casus formulae cohibenti non teguntur; additae solutionis formulae hic omittuntur.
Ex \(n=5\) etiam optimae memoriae artes non adiuvant: nulla formula generalis ex finitis operationibus et radicibus arithmeticae numero constituitur. Hoc est quod dicit Abel-Ruffini theorema ; probatio inveniri potest in Campis Milne et Galois Theoria . Singulae aequationes adhuc usura radicalis solvi possunt. Aliae quoque valores approximatae et functiones speciales manent, ut radicalem in quinto gradu Afferte. Itaque cyphras non evanescet, solum exspectatio radicis universalis formulae.