நள்ளிரவு சூத்திரம் பள்ளியின் தேவையிலிருந்து அதன் பெயரைப் பெற்றது: நீங்கள் நடு இரவில் எழுந்தாலும் இருபடி சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வு சூத்திரத்தை நீங்கள் சொல்ல முடியும். மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது டிகிரிகளில், இந்த சிந்தனை விளையாட்டு மிகவும் கோருகிறது. அடிப்படை எண்கணிதம் மற்றும் வேர்களைப் பயன்படுத்தி இதற்கு மூடிய சூத்திரங்களும் உள்ளன, ஆனால் அவை கணிசமாக நீளமானவை. இங்கே அவை முற்றிலும் அசல் குணகங்களில் உள்ளன \(a,b,c,d,e\) , துணை மாறிகள் இல்லாமல் மற்றும் தேவையான நிபந்தனைகளுடன்.
முன்னணி குணகம் எப்போதும் \(a\ne0\) ; இல்லையெனில் பட்டம் குறையும். மடங்குகள் உட்பட அனைத்து சிக்கலான பூஜ்ஜியங்களையும் நாங்கள் தேடுகிறோம். நேரியல் வழக்கில் \(n=1\) குணகங்கள் \(a\) மற்றும் \(b\) போதுமானது: சமன்பாடு \(x\) க்கு நேரடியாக தீர்க்கப்படும் மற்றும் சரியாக ஒரு எளிய பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது. இது சிக்கலான குணகங்களுக்கும் பொருந்தும். \(a=0\) எனினும், \(b\ne0\) க்கு தீர்வு இல்லை; \(a=b=0\) , ஒவ்வொரு சிக்கலான \(x\) ஒரு தீர்வு. உண்மையான நேரியல் சமன்பாட்டிற்கு ஒருவர் பெறுகிறார்:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
\(n=2\) க்கு இருபடிச் சமன்பாடு \(a,b,c\) குணகங்களைக் கொண்டுள்ளது. உடன் \(k=1,2\) \((-1)^k\) குறியை மாற்றுகிறது மற்றும் மடங்குகள் உட்பட இரண்டு பூஜ்ஜியங்களையும் வழங்குகிறது. உண்மையான குணகங்களுக்கு \(b^2-4ac>0\) க்கு இரண்டு வெவ்வேறு உண்மையான தீர்வுகள் உள்ளன, \(b^2-4ac=0\) க்கு இரட்டை ஒன்று மற்றும் எதிர்மறை மதிப்புக்கு இரண்டு ஒருங்கிணைந்த வளாகங்கள்: பின்னர் நீங்கள் வேர்களைத் தேர்வு செய்யலாம், இதன் மூலம் \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) உடன் இம்மை \(i\) அலகு உள்ளது. \(i^2=-1\) ஆகும். சிக்கலான குணகங்களுக்கு வழக்கு வேறுபாடு இல்லை; இரண்டு சதுர வேர்களுக்கும் சூத்திரம் பொருந்தும்:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
\(n=3\) கார்டானோவின் சூத்திரம் நேரடியாக \(a,b,c,d\) இல் எழுதப்பட்டுள்ளது. \(k\) என்ற எழுத்து ஒரு தீர்வுக் குறியீடாகும்: மதிப்புகள் \(1,2,3\) மூன்று பூஜ்ஜியங்களைத் தேர்ந்தெடுக்கின்றன, வேறு எந்த துணை அளவும் இல்லை. சக்தியானது ஒற்றுமையின் ஆதியான மூன்றாவது மூலத்தை எழுதப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு மூலக் குறியீடும் எந்த சிக்கலான மூலத்தையும் குறிக்கிறது; மீண்டும் மீண்டும் ஒரு வெளிப்பாடு எல்லா இடங்களிலும் ஒரே மதிப்பைக் குறிக்க வேண்டும். \(b^2-3ac=0\) உடன் மட்டுமே உள் வர்க்க மூலமானது \(2b^3-9abc+27a^2d\) மதிப்பைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், இல்லையெனில் கன மூலத்தின் கதிர்வீச்சு பூஜ்ஜியமாக மாறும்:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) உள் வர்க்க மூலத்தின் நிர்ணயம் எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது: இங்கே \(b^2-3ac=0\) மற்றும் \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) . \(-27\) க்கு பதிலாக \(27\) \) மதிப்புடன் கன மூலமானது \(\frac{-27+27}{2}=0\) ஆக இருக்கும், மேலும் சூத்திரம் மதிப்பிடப்படாது. ஆரம்ப சமன்பாட்டின் கீழ் உள்ள நிபந்தனையானது இரண்டு வெளிப்பாடுகளும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் மற்றும் கனசதுர மூலமானது எப்போதும் மறைந்துவிடும். சமன்பாடு மூன்று பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் இங்கே கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரத்தால் மூடப்படவில்லை.
உண்மையான கன குணகங்களுக்கு, \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) இன் அடையாளம் பூஜ்ஜியங்களைத் தீர்மானிக்கிறது: ஒரு நேர்மறை மதிப்பு என்பது மூன்று வெவ்வேறு உண்மையான தீர்வுகள், எதிர்மறை மதிப்பு என்பது ஒரு உண்மையான மற்றும் இரண்டு உண்மையானது அல்ல, பூஜ்ஜியத்தில் அனைத்தும் மீண்டும் மீண்டும் நிஜமாகும். முதல் வழக்கில், இந்த கார்டானோ சூத்திரம் சிக்கலான இடைநிலை மதிப்புகளை கட்டாயப்படுத்துகிறது. தீவிர சூத்திரங்கள் இயற்கணித ரீதியாக துல்லியமானவை, ஆனால் எப்போதும் எண்ணிக்கையில் நிலையானவை அல்ல: கிட்டத்தட்ட ஒரே மாதிரியான இடைநிலை மதிப்புகள் மிதக்கும் புள்ளி கணக்கீடுகளில் இலக்கங்களை செலவழிக்கலாம்; தேவைப்பட்டால், அதிக துல்லியம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
\(n=4\) ஃபெராரியின் சூத்திரமும் முழுமையாக \(a,b,c,d,e\) இல் எழுதப்பட்டுள்ளது. குறியீட்டு \(k\) \(1\) இலிருந்து \(4\) வரை இயங்கும்; \(-1\) சக்திகள் நான்கு அடையாள சேர்க்கைகளையும் கைப்பற்றி, வேர்களை சரியான முறையில் இணைக்கின்றன. ஒரே ரூட் வெளிப்பாடுகள் வெவ்வேறு \(k\) க்கும் கூட ஒரே மதிப்பைக் குறிக்கும். \(c^2-3bd+12ae=0\) \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) என்பது உள் வர்க்க மூலத்தின் மதிப்பு. ஆரம்ப சமன்பாட்டின் கீழ் உள்ள நிபந்தனைகள் பூஜ்ஜியத்தால் வகுப்பதைத் தடுக்கின்றன; ஒவ்வொரு பூஜ்ஜியமும் அதன் பெருக்கத்துடன் பதிவு செய்யப்படுகிறது:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
முதல் நிபந்தனையானது \(x=-\frac{b}{4a}\) நிலை சமச்சீரான பல்லுறுப்புக்கோவைகளை விலக்குகிறது, இதில் \(x^4-5x^2+4=0\) போன்ற \(b=d=0\) உடன் இருகோடி சமன்பாடுகள் அடங்கும். அங்கு முதல் பெரிய வேர் பூஜ்ஜியமாகி பின்னர் வகுப்பில் இருக்கும். இரண்டாவது நிபந்தனை குறைந்தபட்சம் மூன்று பூஜ்ஜியத்தை விலக்குகிறது, எடுத்துக்காட்டாக \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) : இங்கு கனசதுர வேர் வகுப்பில் மறைந்துவிடும். விலக்கப்பட்ட சிறப்பு வழக்குகள் பெட்டி சூத்திரத்தால் மூடப்படவில்லை; கூடுதல் தீர்வு சூத்திரங்கள் இங்கே தவிர்க்கப்பட்டுள்ளன.
\(n=5\) இலிருந்து சிறந்த மனப்பாடம் செய்யும் திறன்கள் கூட உதவாது: அடிப்படை எண்கணித செயல்பாடுகள் மற்றும் வேர்களின் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான பொதுவான சூத்திரம் எதுவும் இல்லை. இதைத்தான் ஏபெல்-ருஃபினி தேற்றம் கூறுகிறது; மில்னின் ஃபீல்ட்ஸ் மற்றும் கலோயிஸ் தியரி ஆகியவற்றில் ஒரு ஆதாரத்தைக் காணலாம். தனிப்பட்ட சமன்பாடுகளை இன்னும் தீவிரவாதிகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும். ஐந்தாவது டிகிரியில் ப்ரிங்ஸ் ரேடிக்கல் போன்ற பிற தோராயமான மதிப்புகள் மற்றும் சிறப்பு செயல்பாடுகள் உள்ளன. எனவே பூஜ்ஜியங்கள் மறைந்துவிடாது, உலகளாவிய ரூட் சூத்திரத்தின் வாய்ப்பு மட்டுமே.