Түн жарымынын формуласы өзүнүн атын мектеп талабынан алган: түн ортосунда ойгонсоңуз да, квадраттык теңдемелерди чечүү формуласын айта алышыңыз керек. Үчүнчү жана төртүнчү даражада, бул ой оюну алда канча талап кылынат. Негизги арифметика жана тамырларды колдонгон жабык формулалар да бар, бирок алар кыйла узун. Бул жерде алар толугу менен баштапкы коэффициенттерде \(a,b,c,d,e\) , жардамчы өзгөрмөлөрсүз жана зарыл шарттар менен.
Алдыңкы коэффициент дайыма канааттандырат \(a\ne0\) ; антпесе даражасы төмөндөйт. Биз бардык татаал нөлдөрдү, анын ичинде эселиктерди издеп жатабыз. \(n=1\) сызыктуу учурда \(a\) жана \(b\) коэффициенттери жетиштүү: теңдеме \(x\) үчүн түз чечилиши мүмкүн жана так бир жөнөкөй нөлгө ээ. Бул татаал коэффициенттерге да тиешелүү. \(a=0\) бирок \(b\ne0\) үчүн эч кандай чечим жок; \(a=b=0\) болуп саналат, ар бир комплекс \(x\) чечим болуп саналат. Чыныгы сызыктуу теңдеме үчүн бири алынат:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
\(n=2\) үчүн квадраттык теңдеме \(a,b,c\) коэффициенттерин камтыйт. \(k=1,2\) менен \((-1)^k\) белгини өзгөртөт жана эки нөлдү тең, анын ичинде эселенген сандарды да кайтарат. Чыныгы коэффициенттер үчүн \(b^2-4ac>0\) үчүн эки түрдүү реалдуу чечим, \(b^2-4ac=0\) үчүн кош жана терс мааниде эки конъюгациялык комплекс бар: Андан кийин тамырларды \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) тиркемесинде \(i\) тургандай кылып тандай аласыз. \(i^2=-1\) болуп саналат. Татаал коэффициенттер үчүн учурда айырма жок; формула эки квадрат тамырга тең колдонулат:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
\(n=3\) үчүн Карданонун формуласы түз \(a,b,c,d\) ичинде жазылган. \(k\) тамгасы жөн гана чечим индекси: \(1,2,3\) маанилери үч нөлдү тандайт, башка эч кандай жардамчы чоңдук жок. Бийликте биримдиктин жазылган алгачкы үчүнчү тамыры бар. Ар бир тамыр белгиси ар кандай татаал тамырды билдирет; кайталанган туюнтма бардык жерде бирдей маанини билдириши керек. \(b^2-3ac=0\) менен гана ички квадрат тамыр \(2b^3-9abc+27a^2d\) маанисине ээ болушу керек, антпесе куб тамырдын радикалы нөлгө айланат.:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) ички чарчы тамырды аныктоонун кантип иштээрин көрсөтөт: Бул жерде \(b^2-3ac=0\) жана \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) . \(27\) ордуна \(-27\) мааниси менен куб тамыры \(\frac{-27+27}{2}=0\) болот жана формула бааланбайт. Баштапкы теңдеменин шарты эки туюнтма тең нөл болгон жана куб тамыры дайыма жоголуп турган учурду толук жокко чыгарат. Анда теңдеме үч эселенген нөлгө ээ жана бул жерде берилген формула менен камтылбайт.
Реалдуу кубдук коэффициенттер үчүн \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) белгиси нөлдөрдү аныктайт: Оң маани үч түрдүү реалдуу чечимди билдирет, терс маани бир реалдуу жана эки реалдуу эмести билдирет, нөлдө баары кайталануу менен реалдуу. Биринчи учурда, бул Кардано формуласы татаал аралык маанилерди мажбурлайт. Радикалдуу формулалар алгебралык жактан так, бирок дайыма эле сандык жактан туруктуу боло бербейт: дээрлик бирдей ортоңку маанилер калкыма чекиттерди эсептөөдө цифралардын баасы болушу мүмкүн; зарыл болсо, жогорку тактык колдонулат.
\(n=4\) үчүн Ferrari формуласы толугу менен \(a,b,c,d,e\) ичинде жазылган. \(k\) индекси \(1\) ден \(4\) чейин иштейт; \(-1\) ыйгарым укуктары бардык төрт белгинин айкалышын камтыйт жана тамырларды тиешелүү түрдө жупташат. Бир эле түпкү туюнтмалар бир эле маанини билдирет, ал тургай, ар кандай \(k\) үчүн. \(c^2-3bd+12ae=0\) \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) үчүн ички квадрат тамырдын мааниси. Баштапкы теңдеменин шарттары нөлгө бөлүнүүнү алдын алат; ар бир нөл анын көптүгү менен жазылган:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
Биринчи шарт \(x=-\frac{b}{4a}\) позициясы боюнча симметриялуу көп мүчөлөрдү, анын ичинде \(x^4-5x^2+4=0\) сыяктуу \(b=d=0\) менен биквадраттык теңдемелерди кошпойт. Ал жерде биринчи чоң тамыр нөлгө айланып, андан кийин бөлүүчүдө болот. Экинчи шарт жок дегенде үч эселенген нөлдү жок кылат, мисалы, \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) : Бул жерде куб тамыры бөлүүчүдө жок болот. Чыгарылган өзгөчө учурлар кутучага салынган формула менен камтылбайт; бул жерде кошумча чечим формулалары жок.
\(n=5\) ичинен эң мыкты жаттоо көндүмдөрү да жардам бербейт: негизги арифметикалык операциялардын жана тамырлардын чектүү санынан турган жалпы формула жок. Бул Абел-Руффини теоремасы мындай дейт; Далил Милндин Fields жана Галуа теориясынан тапса болот. Жеке теңдемелерди дагы эле радикалдарды колдонуу менен чечсе болот. Жана башка болжолдуу баалуулуктар жана өзгөчө функциялар, мисалы, бешинчи даражадагы Bring радикалы бойдон калууда. Ошентип, нөлдөр жоголбойт, бир гана универсалдуу тамыр формуласынын келечеги.