मध्यरात्रि सूत्र का नाम स्कूल की आवश्यकता से लिया गया है: आपको द्विघात समीकरणों के समाधान सूत्र का पाठ करने में सक्षम होना चाहिए, भले ही आप आधी रात में जगे हों। तीसरी और चौथी डिग्री पर, यह विचार खेल और अधिक मांग वाला हो जाता है। बुनियादी अंकगणित और जड़ों का उपयोग करके इसके लिए बंद सूत्र भी हैं, लेकिन वे काफी लंबे हैं। यहां वे पूरी तरह से मूल गुणांक \(a,b,c,d,e\) में हैं, बिना सहायक चर के और आवश्यक शर्तों के साथ।
अग्रणी गुणांक हमेशा \(a\ne0\) को संतुष्ट करता है; अन्यथा डिग्री गिर जाती है. हम गुणजों सहित सभी जटिल शून्यों की तलाश कर रहे हैं। रैखिक मामले में \(n=1\) गुणांक \(a\) और \(b\) पर्याप्त हैं: समीकरण को सीधे \(x\) के लिए हल किया जा सकता है और इसमें बिल्कुल एक सरल शून्य है। यह जटिल गुणांकों पर भी लागू होता है। हालाँकि \(a=0\) के लिए, \(b\ne0\) का कोई समाधान नहीं है; \(a=b=0\) हैं, प्रत्येक जटिल \(x\) एक समाधान है। वास्तविक रैखिक समीकरण के लिए कोई प्राप्त करता है:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
\(n=2\) के लिए द्विघात समीकरण में गुणांक \(a,b,c\) शामिल हैं। \(k=1,2\) \((-1)^k\) के साथ चिह्न बदलता है और गुणज सहित दोनों शून्य लौटाता है। वास्तविक गुणांकों के लिए \(b^2-4ac>0\) के लिए दो अलग-अलग वास्तविक समाधान हैं, \(b^2-4ac=0\) के लिए एक डबल और नकारात्मक मान के लिए दो संयुग्मी कॉम्प्लेक्स हैं: फिर आप जड़ों को चुन सकते हैं ताकि \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) लागू हो, जहां \(i\) \(i^2=-1\) के साथ काल्पनिक इकाई है है. जटिल गुणांकों के लिए कोई मामला भेद नहीं है; सूत्र दोनों वर्गमूलों पर लागू होता है:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
\(n=3\) के लिए कार्डानो का फॉर्मूला सीधे \(a,b,c,d\) में लिखा गया है। अक्षर \(k\) सिर्फ एक समाधान सूचकांक है: मान \(1,2,3\) तीन शून्य चुनते हैं, कोई अन्य सहायक मात्रा नहीं। शक्ति में एकता की एक लिखित आदिम तीसरी जड़ शामिल है। प्रत्येक मूल चिह्न किसी भी जटिल जड़ का प्रतिनिधित्व करता है; दोहराई गई अभिव्यक्ति को हर जगह समान मान दर्शाना चाहिए। केवल \(b^2-3ac=0\) के साथ आंतरिक वर्गमूल का मान \(2b^3-9abc+27a^2d\) होना चाहिए, अन्यथा घनमूल का मूलांक शून्य हो जाता है:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) दिखाता है कि आंतरिक वर्गमूल का निर्धारण कैसे काम करता है: यहां \(b^2-3ac=0\) और \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) । \(-27\) के बजाय \(27\) मान के साथ घनमूल \(\frac{-27+27}{2}=0\) होगा और सूत्र का मूल्यांकन नहीं किया जा सकेगा। प्रारंभिक समीकरण के तहत शर्त बिल्कुल उस स्थिति को बाहर करती है जिसमें दोनों अभिव्यक्तियाँ शून्य हैं और इसलिए घनमूल हमेशा गायब हो जाता है। तब समीकरण में त्रिशून्य होता है और यह यहां दिए गए सूत्र द्वारा कवर नहीं किया जाता है।
वास्तविक घन गुणांकों के लिए, \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) का चिह्न शून्य निर्धारित करता है: एक सकारात्मक मान का अर्थ है तीन अलग-अलग वास्तविक समाधान, एक नकारात्मक मान का अर्थ है एक वास्तविक और दो गैर-वास्तविक, शून्य पर सभी दोहराव के साथ वास्तविक हैं। पहले मामले में, यह कार्डानो सूत्र जटिल मध्यवर्ती मूल्यों को लागू करता है। रेडिकल सूत्र बीजगणितीय रूप से सटीक होते हैं, लेकिन हमेशा संख्यात्मक रूप से स्थिर नहीं होते: लगभग समान मध्यवर्ती मान फ़्लोटिंग पॉइंट गणना में अंकों की लागत ले सकते हैं; यदि आवश्यक हो, तो उच्च परिशुद्धता का उपयोग किया जाता है।
\(n=4\) के लिए फेरारी का फॉर्मूला भी पूरी तरह से \(a,b,c,d,e\) में लिखा गया है। सूचकांक \(k\) \(1\) से \(4\) तक चलता है; \(-1\) की शक्तियां सभी चार चिह्न संयोजनों को पकड़ती हैं और जड़ों को उचित रूप से जोड़ती हैं। समान मूल अभिव्यक्तियाँ समान मान दर्शाती हैं, यहाँ तक कि भिन्न \(k\) के लिए भी। \(c^2-3bd+12ae=0\) के लिए \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) आंतरिक वर्गमूल का मान है। प्रारंभिक समीकरण के अंतर्गत स्थितियाँ शून्य से विभाजन को रोकती हैं; प्रत्येक शून्य को उसकी बहुलता के साथ दर्ज किया जाता है:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
पहली शर्त में उन बहुपदों को शामिल नहीं किया गया है जो स्थिति \(x=-\frac{b}{4a}\) के बारे में सममित हैं, जिसमें \(b=d=0\) के साथ द्विघात समीकरण जैसे \(x^4-5x^2+4=0\) शामिल हैं। वहां पहला बड़ा मूल शून्य बन सकता है और फिर हर में होता है। दूसरी शर्त में कम से कम तीन गुना शून्य शामिल नहीं है, उदाहरण के लिए \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) के साथ: यहां घनमूल हर में गायब हो जाता है। बहिष्कृत विशेष मामले बॉक्सिंग फ़ॉर्मूले में शामिल नहीं हैं; अतिरिक्त समाधान सूत्र यहां छोड़े गए हैं।
\(n=5\) से सर्वोत्तम याद रखने का कौशल भी मदद नहीं करता है: बुनियादी अंकगणितीय परिचालनों और जड़ों की एक सीमित संख्या से बना कोई सामान्य सूत्र नहीं है। हाबिल-रफिनी प्रमेय यही कहता है; इसका प्रमाण मिल्ने फील्ड्स और गैलोज़ थ्योरी में पाया जा सकता है। व्यक्तिगत समीकरणों को अभी भी रेडिकल्स का उपयोग करके हल किया जा सकता है। और अन्य अनुमानित मूल्य और विशेष कार्य बने रहते हैं, जैसे पांचवीं डिग्री पर लाओ का मूलांक। तो शून्य गायब नहीं होते, केवल एक सार्वभौमिक मूल सूत्र की संभावना होती है।