Կեսգիշերային բանաձևը ստացել է իր անունը դպրոցի պահանջից. դուք պետք է կարողանաք արտասանել քառակուսի հավասարումների լուծման բանաձևը, նույնիսկ եթե ձեզ արթնացնեն կեսգիշերին: Երրորդ և չորրորդ աստիճաններում այս մտքի խաղը շատ ավելի պահանջկոտ է դառնում: Դրա համար կան նաև փակ բանաձևեր՝ օգտագործելով հիմնական թվաբանությունը և արմատները, բայց դրանք զգալիորեն ավելի երկար են: Այստեղ դրանք ամբողջությամբ գտնվում են սկզբնական \(a,b,c,d,e\) գործակիցներով, առանց օժանդակ փոփոխականների և անհրաժեշտ պայմաններով։
Առաջատար գործակիցը միշտ բավարարում է \(a\ne0\) ; հակառակ դեպքում աստիճանը նվազում է: Մենք փնտրում ենք բոլոր բարդ զրոները, ներառյալ բազմապատիկները: Գծային \(n=1\) դեպքում \(a\) և \(b\) գործակիցները բավարար են. հավասարումը կարող է ուղղակիորեն լուծվել \(x\) -ի համար և ունի ուղիղ մեկ պարզ զրո: Սա վերաբերում է նաև բարդ գործակիցներին։ \(a=0\) սակայն, \(b\ne0\) -ի լուծում չկա; են \(a=b=0\) , յուրաքանչյուր կոմպլեքս \(x\) լուծում է: Փաստացի գծային հավասարման համար ստացվում է:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
\(n=2\) -ի համար քառակուսի հավասարումը պարունակում է \(a,b,c\) գործակիցները: \(k=1,2\) \((-1)^k\) -ով փոխում է նշանը և վերադարձնում երկու զրոները՝ ներառյալ բազմապատիկները: Իրական գործակիցների համար կան երկու տարբեր իրական լուծումներ \(b^2-4ac>0\) -ի համար, \(b^2-4ac=0\) կրկնակի և բացասական արժեքի համար երկու խոնարհված կոմպլեքսներ. Այնուհետև կարող եք ընտրել արմատները, որպեսզի \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) \(i\) ի միավորը: \(i^2=-1\) է. Բարդ գործակիցների համար դեպքերի տարբերակում չկա. Բանաձևը կիրառվում է երկու քառակուսի արմատների դեպքում:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
\(n=3\) ի համար Կարդանոյի բանաձևը ուղղակիորեն գրված է \(a,b,c,d\) -ում: \(k\) տառը ընդամենը լուծման ինդեքս է. \(1,2,3\) արժեքներն ընտրում են երեք զրո, ոչ մի այլ օժանդակ մեծություն: Իշխանությունը պարունակում է միասնության գրված պարզունակ երրորդ արմատը : Յուրաքանչյուր արմատային խորհրդանիշ ներկայացնում է ցանկացած բարդ արմատ; կրկնվող արտահայտությունը պետք է ամենուր նշի նույն արժեքը: Միայն \(b^2-3ac=0\) -ով ներքին քառակուսի արմատը պետք է ունենա \(2b^3-9abc+27a^2d\) արժեքը, հակառակ դեպքում խորանարդի արմատի ռադիկանդը դառնում է զրո::
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) ցույց է տալիս, թե ինչպես է աշխատում ներքին քառակուսի արմատի որոշումը. Այստեղ \(b^2-3ac=0\) և \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) . \(27\) արժեքով \(-27\) -ի փոխարեն խորանարդի արմատը կլինի \(\frac{-27+27}{2}=0\) և բանաձևը գնահատելի չի լինի: Նախնական հավասարման պայմանը բացառում է հենց այն դեպքը, երբ երկու արտահայտությունները զրո են, և խորանարդի արմատը, հետևաբար, միշտ անհետանում է: Այնուհետև հավասարումը ունի եռակի զրո և չի ծածկվում այստեղ տրված բանաձևով:
Իրական խորանարդ գործակիցների համար \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) նշանը որոշում է զրոները. դրական արժեքը նշանակում է երեք տարբեր իրական լուծումներ, բացասական արժեքը նշանակում է մեկ իրական և երկու ոչ իրական, զրոյի դեպքում բոլորը իրական են կրկնություններով: Առաջին դեպքում Կարդանոյի այս բանաձեւը ստիպում է բարդ միջանկյալ արժեքներ։ Արմատական բանաձևերը հանրահաշվորեն ճշգրիտ են, բայց միշտ չէ, որ թվային կայուն են. գրեթե նույնական միջանկյալ արժեքները կարող են թվանշաններ արժենալ լողացող կետի հաշվարկներում. անհրաժեշտության դեպքում օգտագործվում է ավելի բարձր ճշգրտություն:
\(n=4\) ի համար Ferrari-ի բանաձևը նույնպես ամբողջությամբ գրված է \(a,b,c,d,e\) ով: \(k\) ինդեքսն աշխատում է \(1\) -ից մինչև \(4\) ; \(-1\) -ի ուժերը գրավում են բոլոր չորս նշանների համակցությունները և համապատասխան կերպով միացնում արմատները: Նույն արմատային արտահայտությունները նշանակում են նույն արժեքը, նույնիսկ տարբեր \(k\) ի համար: \(c^2-3bd+12ae=0\) համար \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) ներքին քառակուսի արմատի արժեքն է։ Նախնական հավասարման պայմանները կանխում են զրոյի բաժանումը. յուրաքանչյուր զրո գրանցվում է իր բազմակիությամբ:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
Առաջին պայմանը բացառում է բազմանդամները, որոնք սիմետրիկ են \(x=-\frac{b}{4a}\) դիրքի նկատմամբ, ներառյալ \(b=d=0\) երկքառակուսի հավասարումները, ինչպիսիք են \(x^4-5x^2+4=0\) : Այնտեղ առաջին մեծ արմատը կարող է դառնալ զրո և այնուհետև գտնվում է հայտարարի մեջ: Երկրորդ պայմանը բացառում է առնվազն եռակի զրո, օրինակ \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) : Այստեղ խորանարդի արմատը անհետանում է հայտարարի մեջ: Բացառված հատուկ դեպքերը ներառված չեն արկղային բանաձևով. Լրացուցիչ լուծման բանաձևերն այստեղ բաց են թողնվել:
\(n=5\) -ից նույնիսկ լավագույն մտապահման հմտությունները չեն օգնում. չկա ընդհանուր բանաձև, որը բաղկացած է վերջավոր թվով հիմնական թվաբանական գործողություններից և արմատներից: Ահա թե ինչ է ասում Աբել-Ռուֆինի թեորեմը . ապացույցը կարելի է գտնել Միլնի դաշտերում և Գալուայի տեսության մեջ: Առանձին հավասարումներ դեռ կարելի է լուծել ռադիկալների միջոցով: Եվ մնում են այլ մոտավոր արժեքներ և հատուկ գործառույթներ, ինչպիսիք են Bring-ի ռադիկալը հինգերորդ աստիճանում: Այսպիսով, զրոները չեն անհետանում, միայն ունիվերսալ արմատային բանաձեւի հեռանկարը: