فرمول نیمه شب نام خود را از یک الزام مدرسه گرفته است: شما باید بتوانید فرمول حل معادلات درجه دوم را حتی اگر نیمه شب از خواب بیدار شوید، بخوانید. در درجه های سوم و چهارم، این بازی فکری بسیار سخت تر می شود. همچنین فرمول های بسته ای برای این کار با استفاده از محاسبات پایه و ریشه وجود دارد، اما آنها به طور قابل توجهی طولانی تر هستند. در اینجا آنها کاملاً در ضرایب اصلی \(a,b,c,d,e\) بدون متغیرهای کمکی و با شرایط لازم هستند.
ضریب پیشرو همیشه \(a\ne0\) را برآورده می کند. در غیر این صورت مدرک افت می کند. ما به دنبال همه صفرهای مختلط از جمله مضرب هستیم. در حالت خطی \(n=1\) ضرایب \(a\) و \(b\) کافی است: معادله را می توان مستقیماً برای \(x\) حل کرد و دقیقاً یک صفر ساده دارد. این امر در مورد ضرایب پیچیده نیز صدق می کند. اما برای \(a=0\) هیچ راه حلی برای \(b\ne0\) وجود ندارد. \(a=b=0\) هستند، هر مختلط \(x\) یک راه حل است. برای معادله خطی واقعی به دست می آید:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
برای \(n=2\) معادله درجه دوم شامل ضرایب \(a,b,c\) است. با \(k=1,2\) \((-1)^k\) علامت را تغییر می دهد و هر دو صفر را شامل مضرب برمی گرداند. برای ضرایب واقعی دو راه حل واقعی متفاوت برای \(b^2-4ac>0\) وجود دارد، برای \(b^2-4ac=0\) یک دوتایی و برای یک مقدار منفی دو کمپلکس مزدوج: سپس می توانید ریشه ها را انتخاب کنید تا \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) با واحد برنامه \(i\) \(i^2=-1\) است. هیچ تمایز موردی برای ضرایب مختلط وجود ندارد. این فرمول با هر دو ریشه مربع اعمال می شود:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
برای \(n=3\) فرمول کاردانو مستقیماً در \(a,b,c,d\) نوشته شده است. حرف \(k\) فقط یک شاخص راه حل است: مقادیر \(1,2,3\) سه صفر را انتخاب می کنند، بدون کمیت کمکی دیگر. قدرت شامل یک ریشه سوم ابتدایی نوشته شده از وحدت است. هر نماد ریشه نشان دهنده هر ریشه پیچیده است. یک عبارت تکرار شده باید در همه جا یک مقدار را نشان دهد. فقط با \(b^2-3ac=0\) ریشه مربع داخلی باید مقدار \(2b^3-9abc+27a^2d\) را داشته باشد، در غیر این صورت رادیکاند ریشه مکعب صفر می شود.:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) نشان می دهد که چگونه تعیین ریشه مربع داخلی کار می کند: در اینجا \(b^2-3ac=0\) و \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) . با مقدار \(27\) به جای \(-27\) ریشه مکعب \(\frac{-27+27}{2}=0\) خواهد بود و فرمول قابل ارزیابی نخواهد بود. شرط زیر معادله اولیه دقیقاً موردی را که در آن هر دو عبارت صفر هستند و ریشه مکعبی همیشه ناپدید می‌شود حذف می‌کند. معادله دارای یک صفر سه گانه است و با فرمول ارائه شده در اینجا پوشش داده نمی شود.
برای ضرایب مکعب واقعی، علامت \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) صفرها را تعیین می کند: یک مقدار مثبت به معنای سه راه حل واقعی مختلف، یک مقدار منفی به معنای یک واقعی و دو غیر واقعی، در صفر همه با تکرار واقعی هستند. در حالت اول، این فرمول کاردانو مقادیر میانی پیچیده ای را اعمال می کند. فرمول‌های رادیکال از نظر جبری دقیق هستند، اما همیشه از نظر عددی پایدار نیستند: مقادیر متوسط تقریباً یکسان می‌توانند ارقام را در محاسبات ممیز شناور هزینه کنند. در صورت لزوم از دقت بالاتری استفاده می شود.
برای \(n=4\) فرمول فراری نیز به طور کامل در \(a,b,c,d,e\) نوشته شده است. شاخص \(k\) از \(1\) تا \(4\) اجرا می شود. قدرت های \(-1\) هر چهار ترکیب علامت را می گیرند و ریشه ها را به درستی جفت می کنند. عبارات ریشه یکسان نشان دهنده یک مقدار است، حتی برای \(k\) های مختلف. برای \(c^2-3bd+12ae=0\) \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) مقدار ریشه مربع داخلی است. شرایط زیر معادله اولیه از تقسیم بر صفر جلوگیری می کند. هر صفر با تعدد آن ثبت می شود:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
شرط اول، چند جمله‌ای را که در موقعیت \(x=-\frac{b}{4a}\) متقارن هستند، شامل معادلات دو درجه‌ای با \(b=d=0\) مانند \(x^4-5x^2+4=0\) . در آنجا اولین ریشه بزرگ می تواند صفر شود و سپس در مخرج است. شرط دوم حداقل یک صفر سه گانه را مستثنی می کند، برای مثال با \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) : در اینجا ریشه مکعب در مخرج ناپدید می شود. موارد خاص استثنا شده توسط فرمول جعبه پوشش داده نمی شود. فرمول های راه حل اضافی در اینجا حذف شده اند.
از \(n=5\) حتی بهترین مهارت های به خاطر سپردن نیز کمکی نمی کند: هیچ فرمول کلی که از تعداد محدودی از عملیات های حسابی و ریشه های اساسی تشکیل شده باشد وجود ندارد. این همان چیزی است که قضیه آبل-روفینی می گوید. دلیلی را می توان در میلنز فیلدز و نظریه گالوا یافت. هنوز هم می توان با استفاده از رادیکال ها، معادلات فردی را حل کرد. و مقادیر تقریبی و توابع ویژه دیگری مانند رادیکال Bring در درجه پنجم باقی می مانند. بنابراین صفرها ناپدید نمی شوند، فقط چشم انداز یک فرمول ریشه جهانی است.