Свою назву опівнічна формула отримала від шкільної вимоги: ви повинні вміти прочитати формулу розв’язання квадратних рівнянь, навіть якщо вас прокинули серед ночі. На третьому та четвертому ступенях ця мисленнєва гра стає набагато вимогливішою. Існують також закриті формули для цього з використанням базової арифметики та коренів, але вони значно довші. Тут вони повністю в оригінальних коефіцієнтах \(a,b,c,d,e\) , без допоміжних змінних і з необхідними умовами.
Головний коефіцієнт завжди задовольняє \(a\ne0\) ; інакше ступінь падає. Ми шукаємо всі комплексні нулі, включаючи кратні. У лінійному випадку \(n=1\) коефіцієнтів \(a\) і \(b\) достатньо: рівняння можна розв'язати безпосередньо для \(x\) і має рівно один простий нуль. Це також стосується комплексних коефіцієнтів. Однак для \(a=0\) немає рішення для \(b\ne0\) ; є \(a=b=0\) , кожен комплекс \(x\) є розв’язком. Для реального лінійного рівняння отримуємо:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
Для \(n=2\) квадратне рівняння містить коефіцієнти \(a,b,c\) . З \(k=1,2\) \((-1)^k\) змінює знак і повертає обидва нулі, включаючи кратні. Для дійсних коефіцієнтів є два різні дійсні розв’язки для \(b^2-4ac>0\) , для \(b^2-4ac=0\) — подвійне, а для від’ємного значення — два спряжені комплекси: тоді ви можете вибрати корені так, щоб застосовувалося \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) , де \(i\) — уявна одиниця з \(i^2=-1\) є. Для комплексних коефіцієнтів немає розрізнення регістрів; формула застосовна до обох квадратних коренів:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
Для \(n=3\) формула Кардано записана безпосередньо в \(a,b,c,d\) . Буква \(k\) - це просто індекс рішення: значення \(1,2,3\) вибирають три нулі, жодної іншої допоміжної величини. Степінь містить виписаний первісний третій корінь одиниці . Кожен символ кореня представляє будь-який комплексний корінь; повторюваний вираз повинен скрізь позначати одне й те саме значення. Тільки якщо \(b^2-3ac=0\) внутрішній квадратний корінь повинен мати значення \(2b^3-9abc+27a^2d\) , інакше підкорене вираз кубічного кореня стає нулем:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) показує, як працює визначення внутрішнього квадратного кореня: Тут \(b^2-3ac=0\) і \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) . Зі значенням \(27\) замість \(-27\) кубічний корінь буде \(\frac{-27+27}{2}=0\) , і формулу не можна буде обчислити. Умова під початковим рівнянням виключає саме той випадок, коли обидва вирази дорівнюють нулю, а тому кубічний корінь завжди зникає. Тоді рівняння має потрійний нуль і не охоплюється наведеною тут формулою.
Для дійсних кубічних коефіцієнтів знак \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) визначає нулі: додатне значення означає три різні дійсні розв’язки, від’ємне значення означає одне дійсне та два недійсних, при нулі всі дійсні з повтореннями. У першому випадку ця формула Кардано форсує складні проміжні значення. Радикальні формули алгебраїчно точні, але не завжди чисельно стабільні: майже однакові проміжні значення можуть коштувати цифри в обчисленнях з плаваючою комою; при необхідності використовується більш висока точність.
Для \(n=4\) формула Феррарі також повністю записана в \(a,b,c,d,e\) . Індекс \(k\) змінюється від \(1\) до \(4\) ; степені \(-1\) охоплюють усі чотири комбінації знаків і належним чином поєднують корені. Однакові кореневі вирази позначають одне й те саме значення, навіть для різних \(k\) . Для \(c^2-3bd+12ae=0\) \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) є значенням внутрішнього квадратного кореня. Умови початкового рівняння перешкоджають діленню на нуль; кожен нуль записується з його кратністю:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
Перша умова виключає поліноми, які є симетричними відносно положення \(x=-\frac{b}{4a}\) , включаючи біквадратні рівняння з \(b=d=0\) , наприклад \(x^4-5x^2+4=0\) . Там перший великий корінь може перетворитися на нуль і тоді буде в знаменнику. Друга умова виключає принаймні потрійний нуль, наприклад, \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) : тут кубічний корінь зникає в знаменнику. Виключені особливі випадки не охоплюються рамковою формулою; додаткові формули розв’язку тут опущено.
З \(n=5\) навіть найкращі навички запам'ятовування не допомагають: немає загальної формули, складеної з кінцевої кількості базових арифметичних операцій і коренів. Ось що говорить теорема Абеля-Руффіні ; доказ можна знайти в теорії Мілна Філдса та Галуа . Окремі рівняння все ще можна розв’язувати за допомогою радикалів. А інші наближені значення і спеціальні функції залишаються, наприклад, радикал Брінга в п'ятому ступені. Тож нулі не зникають, лише перспектива формули універсального кореня.