মধ্যরাতের সূত্রটি একটি স্কুলের প্রয়োজনীয়তা থেকে এর নাম পেয়েছে: আপনি মধ্যরাতে জেগে থাকলেও দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান সূত্রটি আবৃত্তি করতে সক্ষম হবেন। তৃতীয় এবং চতুর্থ ডিগ্রীতে, এই চিন্তার খেলাটি আরও বেশি চাহিদাপূর্ণ হয়ে ওঠে। মৌলিক পাটিগণিত এবং শিকড় ব্যবহার করে এটির জন্য বন্ধ সূত্র রয়েছে, তবে সেগুলি যথেষ্ট দীর্ঘ। এখানে তারা সম্পূর্ণরূপে মূল সহগ \(a,b,c,d,e\) , সহায়ক ভেরিয়েবল ছাড়া এবং প্রয়োজনীয় শর্তাবলী সহ।
অগ্রণী সহগ সর্বদা সন্তুষ্ট হয় \(a\ne0\) ; অন্যথায় ডিগ্রী কমে যায়। আমরা গুণিতক সহ সমস্ত জটিল শূন্য খুঁজছি। রৈখিক ক্ষেত্রে \(n=1\) সহগ \(a\) এবং \(b\) যথেষ্ট: সমীকরণটি সরাসরি \(x\) এর জন্য সমাধান করা যেতে পারে এবং ঠিক একটি সরল শূন্য রয়েছে। এটি জটিল সহগগুলির ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। \(a=0\) তবে, \(b\ne0\) এর জন্য কোন সমাধান নেই; হয় \(a=b=0\) , প্রতিটি জটিল \(x\) একটি সমাধান। প্রকৃত রৈখিক সমীকরণের জন্য একজন প্রাপ্ত হয়:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
\(n=2\) এর জন্য দ্বিঘাত সমীকরণে সহগ রয়েছে \(a,b,c\) । \(k=1,2\) \((-1)^k\) চিহ্ন পরিবর্তন করে এবং গুণিতক সহ উভয় শূন্য প্রদান করে। বাস্তব সহগগুলির জন্য \(b^2-4ac>0\) এর জন্য দুটি ভিন্ন বাস্তব সমাধান রয়েছে, \(b^2-4ac=0\) একটি দ্বিগুণ এবং একটি ঋণাত্মক মানের জন্য দুটি সমন্বিত কমপ্লেক্স: তারপর আপনি শিকড়গুলি বেছে নিতে পারেন যাতে \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) এককটির সাথে \(i\) প্রয়োগ করা হয়। \(i^2=-1\) হল। জটিল সহগগুলির জন্য কোন ক্ষেত্রে পার্থক্য নেই; সূত্রটি উভয় বর্গমূলের সাথে প্রযোজ্য:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
\(n=3\) কার্ডানোর সূত্রটি সরাসরি \(a,b,c,d\) এ লেখা আছে। অক্ষর \(k\) শুধুমাত্র একটি সমাধান সূচক: মান \(1,2,3\) তিনটি শূন্য বেছে নেয়, অন্য কোন সহায়ক পরিমাণ নয়। শক্তির মধ্যে একতার লিখিত আদিম তৃতীয় মূল রয়েছে। প্রতিটি মূল প্রতীক যেকোন জটিল মূলকে প্রতিনিধিত্ব করে; একটি পুনরাবৃত্তি অভিব্যক্তি সর্বত্র একই মান বোঝাতে হবে। শুধুমাত্র \(b^2-3ac=0\) দিয়ে ভিতরের বর্গমূলের মান \(2b^3-9abc+27a^2d\) থাকতে হবে, অন্যথায় ঘনমূলের রেডিক্যান্ড শূন্য হয়ে যাবে:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) দেখায় কিভাবে অভ্যন্তরীণ বর্গমূলের নির্ণয় কাজ করে: এখানে \(b^2-3ac=0\) এবং \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) । \(-27\) এর পরিবর্তে \(27\) মান দিয়ে ঘনমূল হবে \(\frac{-27+27}{2}=0\) এবং সূত্রটি মূল্যায়নযোগ্য হবে না। প্রাথমিক সমীকরণের অধীনে শর্তটি ঠিক সেই ক্ষেত্রে বাদ দেয় যেখানে উভয় রাশিই শূন্য এবং ঘনমূল তাই সর্বদা অদৃশ্য হয়ে যায়। সমীকরণটি তখন একটি ট্রিপল শূন্য রয়েছে এবং এখানে দেওয়া সূত্র দ্বারা আচ্ছাদিত নয়।
বাস্তব কিউবিক সহগগুলির জন্য, \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) চিহ্নটি শূন্য নির্ধারণ করে: একটি ইতিবাচক মান মানে তিনটি ভিন্ন বাস্তব সমাধান, একটি ঋণাত্মক মান মানে একটি বাস্তব এবং দুটি অবাস্তব, শূন্যে সবগুলি পুনরাবৃত্তি সহ বাস্তব। প্রথম ক্ষেত্রে, এই Cardano সূত্র জটিল মধ্যবর্তী মান জোর করে। র্যাডিকাল সূত্র বীজগণিতভাবে সঠিক, কিন্তু সবসময় সংখ্যাগতভাবে স্থিতিশীল নয়: প্রায় অভিন্ন মধ্যবর্তী মানগুলি ভাসমান বিন্দু গণনায় অঙ্কের খরচ করতে পারে; প্রয়োজন হলে, উচ্চ নির্ভুলতা ব্যবহার করা হয়।
\(n=4\) এর জন্য ফেরারির সূত্রটি সম্পূর্ণরূপে \(a,b,c,d,e\) এ লেখা আছে। সূচক \(k\) \(1\) থেকে \(4\) পর্যন্ত চলে; \(-1\) এর ক্ষমতাগুলি চারটি চিহ্নের সংমিশ্রণ ক্যাপচার করে এবং শিকড়গুলিকে যথাযথভাবে জোড়া দেয়। একই মূল অভিব্যক্তি একই মান নির্দেশ করে, এমনকি ভিন্ন \(k\) এর জন্যও। \(c^2-3bd+12ae=0\) \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) এর জন্য অভ্যন্তরীণ বর্গমূলের মান। প্রাথমিক সমীকরণের অধীনে শর্তগুলি শূন্য দ্বারা বিভাজন প্রতিরোধ করে; প্রতিটি শূন্য তার বহুগুণ সহ রেকর্ড করা হয়:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
প্রথম শর্তটি \(x=-\frac{b}{4a}\) অবস্থান সম্পর্কে সমমিত বহুপদীকে বাদ দেয়, যেখানে \(b=d=0\) এর মতো দ্বিবিঘাত সমীকরণ যেমন \(x^4-5x^2+4=0\) । সেখানে প্রথম বড় মূলটি শূন্য হয়ে যেতে পারে এবং তারপর হর-এ থাকে। দ্বিতীয় শর্তটি কমপক্ষে একটি ট্রিপল শূন্য বাদ দেয়, উদাহরণস্বরূপ \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) : এখানে ঘনক মূলটি হর-এ অদৃশ্য হয়ে যায়। বাদ দেওয়া বিশেষ ক্ষেত্রে বাক্সযুক্ত সূত্র দ্বারা আচ্ছাদিত করা হয় না; অতিরিক্ত সমাধান সূত্র এখানে বাদ দেওয়া হয়.
\(n=5\) থেকে এমনকি সর্বোত্তম মুখস্থ দক্ষতাও সাহায্য করে না: মৌলিক গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ এবং মূলের একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যক দ্বারা গঠিত কোন সাধারণ সূত্র নেই। এই Abel-Ruffini উপপাদ্য কি বলে; মিলনের ফিল্ডস এবং গ্যালোইস থিওরিতে এর প্রমাণ পাওয়া যায়। স্বতন্ত্র সমীকরণ এখনও র্যাডিকাল ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে। এবং অন্যান্য আনুমানিক মান এবং বিশেষ ফাংশন রয়ে গেছে, যেমন পঞ্চম ডিগ্রীতে Bring's radical. তাই শূন্য অদৃশ্য হয় না, শুধুমাত্র একটি সার্বজনীন মূল সূত্রের সম্ভাবনা।