Rumus tengah malam mendapatkan namanya dari persyaratan sekolah: Anda harus bisa melafalkan rumus penyelesaian persamaan kuadrat meskipun Anda terbangun di tengah malam. Pada tingkat ketiga dan keempat, permainan pemikiran ini menjadi lebih menuntut. Ada juga rumus tertutup untuk ini yang menggunakan aritmatika dasar dan akar, tetapi rumusnya jauh lebih panjang. Di sini mereka sepenuhnya dalam koefisien asli \(a,b,c,d,e\) , tanpa variabel bantu dan dengan kondisi yang diperlukan.
Koefisien terdepan selalu memenuhi \(a\ne0\) ; jika tidak, derajatnya akan turun. Kami mencari semua angka nol kompleks termasuk kelipatannya. Dalam kasus linier \(n=1\) koefisien \(a\) dan \(b\) sudah mencukupi: persamaan dapat diselesaikan secara langsung untuk \(x\) dan mempunyai tepat satu nol sederhana. Hal ini juga berlaku untuk koefisien kompleks. Namun, untuk \(a=0\) tidak ada solusi untuk \(b\ne0\) ; adalah \(a=b=0\) , setiap kompleks \(x\) adalah solusi. Untuk persamaan linier aktual diperoleh:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
Untuk \(n=2\) persamaan kuadrat berisi koefisien \(a,b,c\) . Dengan \(k=1,2\) \((-1)^k\) mengubah tanda dan mengembalikan kedua angka nol termasuk kelipatannya. Untuk koefisien riil terdapat dua solusi nyata yang berbeda untuk \(b^2-4ac>0\) , untuk \(b^2-4ac=0\) solusi ganda dan untuk nilai negatif dua kompleks konjugasi: Kemudian Anda dapat memilih akar-akarnya sehingga \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) berlaku, dengan \(i\) adalah satuan imajiner dengan \(i^2=-1\) adalah. Tidak ada perbedaan kasus untuk koefisien kompleks; rumusnya berlaku untuk kedua akar kuadrat:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
Untuk \(n=3\) rumus Cardano ditulis langsung dalam \(a,b,c,d\) . Huruf \(k\) hanyalah indeks solusi: nilai \(1,2,3\) pilih tiga angka nol, tidak ada besaran tambahan lainnya. Kekuatan itu mengandung akar kesatuan primitif ketiga yang tertulis. Setiap simbol akar mewakili akar kompleks apa pun; ekspresi berulang harus menunjukkan nilai yang sama di mana pun. Hanya dengan \(b^2-3ac=0\) akar kuadrat dalam harus memiliki nilai \(2b^3-9abc+27a^2d\) , jika tidak, akar pangkat tiga menjadi nol:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) menunjukkan cara kerja penentuan akar kuadrat dalam: Di sini \(b^2-3ac=0\) dan \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) . Dengan nilai \(27\) dan bukan \(-27\) , akar pangkat tiga akan menjadi \(\frac{-27+27}{2}=0\) dan rumusnya tidak dapat dievaluasi. Kondisi pada persamaan awal mengecualikan kasus di mana kedua ekspresi sama dengan nol dan oleh karena itu akar pangkat tiga selalu hilang. Persamaannya kemudian memiliki triple zero dan tidak tercakup dalam rumus yang diberikan di sini.
Untuk koefisien kubik riil, tanda \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) menentukan angka nol: Nilai positif berarti tiga solusi real berbeda, nilai negatif berarti satu real dan dua non-real, nol semuanya real dengan pengulangan. Dalam kasus pertama, rumus Cardano ini memaksakan nilai antara yang kompleks. Rumus radikal secara aljabar tepat, tetapi tidak selalu stabil secara numerik: nilai antara yang hampir identik dapat memerlukan angka dalam perhitungan floating point; jika perlu, presisi yang lebih tinggi digunakan.
Untuk \(n=4\) rumus Ferrari juga ditulis lengkap dalam \(a,b,c,d,e\) . Indeks \(k\) dijalankan dari \(1\) hingga \(4\) ; pangkat \(-1\) menangkap keempat kombinasi tanda dan memasangkan akar-akarnya dengan tepat. Ekspresi akar yang sama menunjukkan nilai yang sama, bahkan untuk \(k\) yang berbeda. Untuk \(c^2-3bd+12ae=0\) \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) adalah nilai akar kuadrat dalam. Kondisi persamaan awal mencegah pembagian dengan nol; setiap nol dicatat dengan multiplisitasnya:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
Kondisi pertama mengecualikan polinomial yang simetris terhadap posisi \(x=-\frac{b}{4a}\) , termasuk persamaan biquadratic dengan \(b=d=0\) seperti \(x^4-5x^2+4=0\) . Di sana akar besar pertama bisa menjadi nol dan kemudian menjadi penyebut. Kondisi kedua mengecualikan setidaknya tiga nol, misalnya dengan \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) : Di sini akar pangkat tiga menghilang dalam penyebut. Kasus khusus yang dikecualikan tidak tercakup dalam rumus kotak; rumus solusi tambahan dihilangkan di sini.
Dari \(n=5\) bahkan kemampuan menghafal terbaik pun tidak membantu: tidak ada rumus umum yang terdiri dari sejumlah operasi aritmatika dasar dan akar yang terbatas. Inilah yang dikatakan oleh teorema Abel – Ruffini ; buktinya dapat ditemukan dalam Teori Milne's Fields dan Galois . Persamaan individual masih dapat diselesaikan dengan menggunakan radikal. Dan nilai perkiraan serta fungsi khusus lainnya tetap ada, seperti radikal Bring pada derajat kelima. Jadi angka nolnya tidak hilang, hanya prospek rumus akar universal.