Formula tengah malam mendapat namanya daripada keperluan sekolah: anda sepatutnya boleh menyebut formula penyelesaian untuk persamaan kuadratik walaupun anda terjaga di tengah malam. Pada darjah ketiga dan keempat, permainan pemikiran ini menjadi lebih mencabar. Terdapat juga formula tertutup untuk ini menggunakan aritmetik asas dan akar, tetapi ia jauh lebih panjang. Di sini mereka berada sepenuhnya dalam pekali asal \(a,b,c,d,e\) , tanpa pembolehubah tambahan dan dengan syarat yang diperlukan.
Pekali utama sentiasa memenuhi \(a\ne0\) ; jika tidak darjatnya jatuh. Kami sedang mencari semua sifar kompleks termasuk gandaan. Dalam kes linear \(n=1\) pekali \(a\) dan \(b\) adalah mencukupi: persamaan boleh diselesaikan terus untuk \(x\) dan mempunyai tepat satu sifar ringkas. Ini juga terpakai kepada pekali kompleks. Untuk \(a=0\) bagaimanapun, tiada penyelesaian untuk \(b\ne0\) ; ialah \(a=b=0\) , setiap kompleks \(x\) ialah penyelesaian. Untuk persamaan linear sebenar yang diperolehi:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
Untuk \(n=2\) persamaan kuadratik mengandungi pekali \(a,b,c\) . Dengan \(k=1,2\) \((-1)^k\) menukar tanda dan mengembalikan kedua-dua sifar termasuk gandaan. Untuk pekali nyata terdapat dua penyelesaian nyata yang berbeza untuk \(b^2-4ac>0\) , untuk \(b^2-4ac=0\) satu dua kali ganda dan untuk nilai negatif dua kompleks konjugat: Kemudian anda boleh memilih punca supaya \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) imaginary, dengan \(i\) imaginary applies \(i^2=-1\) ialah. Tiada perbezaan kes untuk pekali kompleks; formula digunakan dengan kedua-dua punca kuasa dua:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
Untuk \(n=3\) formula Cardano ditulis secara langsung dalam \(a,b,c,d\) . Huruf \(k\) hanyalah indeks penyelesaian: nilai \(1,2,3\) memilih tiga sifar, tiada kuantiti tambahan lain. Kuasa itu mengandungi akar ketiga primitif kesatuan yang tersurat. Setiap simbol akar mewakili mana-mana punca kompleks; ungkapan berulang mesti menunjukkan nilai yang sama di mana-mana. Hanya dengan \(b^2-3ac=0\) punca kuasa dua dalam perlu mempunyai nilai \(2b^3-9abc+27a^2d\) , jika tidak, radicand punca kubus menjadi sifar:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) menunjukkan cara penentuan punca kuasa dua dalam berfungsi: Di sini \(b^2-3ac=0\) dan \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) . Dengan nilai \(27\) dan bukannya \(-27\) punca kubus akan menjadi \(\frac{-27+27}{2}=0\) dan formula tidak boleh dinilai. Keadaan di bawah persamaan awal mengecualikan betul-betul kes di mana kedua-dua ungkapan adalah sifar dan oleh itu punca kubus sentiasa hilang. Persamaan itu kemudiannya mempunyai sifar tiga kali ganda dan tidak diliputi oleh formula yang diberikan di sini.
Untuk pekali padu nyata, tanda \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) menentukan sifar: Nilai positif bermaksud tiga penyelesaian nyata berbeza, nilai negatif bermakna satu nyata dan dua bukan nyata, pada sifar semuanya adalah nyata dengan ulangan. Dalam kes pertama, formula Cardano ini memaksa nilai perantaraan yang kompleks. Formula radikal adalah tepat dari segi algebra, tetapi tidak selalunya stabil secara berangka: nilai perantaraan yang hampir sama boleh menelan kos digit dalam pengiraan titik terapung; jika perlu, ketepatan yang lebih tinggi digunakan.
Untuk \(n=4\) formula Ferrari juga ditulis sepenuhnya dalam \(a,b,c,d,e\) . Indeks \(k\) bermula dari \(1\) hingga \(4\) ; kuasa \(-1\) menangkap kesemua empat kombinasi tanda dan gandingkan puncanya dengan sewajarnya. Ungkapan akar yang sama menunjukkan nilai yang sama, walaupun untuk berbeza \(k\) . Untuk \(c^2-3bd+12ae=0\) \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) ialah nilai punca kuasa dua dalam. Keadaan di bawah persamaan awal menghalang pembahagian dengan sifar; setiap sifar direkodkan dengan kepelbagaiannya:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
Syarat pertama tidak termasuk polinomial yang simetri tentang kedudukan \(x=-\frac{b}{4a}\) , termasuk persamaan dwikuadrat dengan \(b=d=0\) seperti \(x^4-5x^2+4=0\) . Di sana punca besar pertama boleh menjadi sifar dan kemudiannya dalam penyebut. Syarat kedua tidak termasuk sekurang-kurangnya sifar tiga kali ganda, contohnya dengan \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) : Di sini punca kubus hilang dalam penyebut. Kes khas yang dikecualikan tidak dilindungi oleh formula berkotak; formula penyelesaian tambahan ditinggalkan di sini.
Daripada \(n=5\) malah kemahiran hafalan yang terbaik tidak membantu: tiada formula am yang terdiri daripada bilangan terhingga operasi dan punca aritmetik asas. Inilah yang dikatakan teorem Abel–Ruffini ; satu bukti boleh didapati dalam Milne's Fields dan Teori Galois . Persamaan individu masih boleh diselesaikan menggunakan radikal. Dan nilai anggaran lain dan fungsi khas kekal, seperti radikal Bring pada tahap kelima. Jadi sifar tidak hilang, hanya prospek formula akar universal.