រូបមន្តពាក់កណ្តាលអធ្រាត្រទទួលបាន ឈ្មោះ របស់វាពីតម្រូវការរបស់សាលា៖ អ្នកគួរតែអាចសូត្ររូបមន្តដំណោះស្រាយសម្រាប់សមីការបួនជ្រុង ទោះបីជាអ្នកភ្ញាក់ពីគេងពាក់កណ្តាលយប់ក៏ដោយ។ នៅដឺក្រេទី 3 និងទី 4 ហ្គេមគិតនេះកាន់តែមានតម្រូវការ។ វាក៏មានរូបមន្តបិទសម្រាប់នេះផងដែរ ដោយប្រើលេខនព្វន្ធជាមូលដ្ឋាន និងឫស ប៉ុន្តែវាមានរយៈពេលយូរជាងគួរឱ្យកត់សម្គាល់។ នៅទីនេះពួកវាទាំងស្រុងនៅក្នុងមេគុណដើម \(a,b,c,d,e\) ដោយគ្មានអថេរជំនួយ និងជាមួយលក្ខខណ្ឌចាំបាច់។
មេគុណនាំមុខតែងតែពេញចិត្ត \(a\ne0\) ; បើមិនដូច្នោះទេសញ្ញាបត្រធ្លាក់ចុះ។ យើងកំពុងស្វែងរកលេខសូន្យស្មុគស្មាញទាំងអស់ រួមទាំងគុណ។ ក្នុងករណីលីនេអ៊ែរ \(n=1\) មេគុណ \(a\) និង \(b\) គឺគ្រប់គ្រាន់៖ សមីការអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយផ្ទាល់សម្រាប់ \(x\) ហើយមានសូន្យសាមញ្ញមួយ។ នេះក៏អនុវត្តចំពោះមេគុណស្មុគស្មាញផងដែរ។ សម្រាប់ \(a=0\) ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមានដំណោះស្រាយសម្រាប់ \(b\ne0\) ; គឺ \(a=b=0\) រាល់ស្មុគស្មាញ \(x\) គឺជាដំណោះស្រាយ។ សម្រាប់សមីការលីនេអ៊ែរពិតប្រាកដមួយទទួលបាន:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
សម្រាប់ \(n=2\) សមីការការ៉េ មានមេគុណ \(a,b,c\) ។ ជាមួយ \(k=1,2\) \((-1)^k\) ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា និងត្រឡប់លេខសូន្យទាំងពីរ រួមទាំងគុណ។ សម្រាប់មេគុណពិត មានដំណោះស្រាយពិតពីរផ្សេងគ្នាសម្រាប់ \(b^2-4ac>0\) សម្រាប់ \(b^2-4ac=0\) មួយទ្វេមួយ និងសម្រាប់តម្លៃអវិជ្ជមានពីរ conjugate complexes៖ បន្ទាប់មកអ្នកអាចជ្រើសរើសឫស ដូច្នេះ \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) \(i\) ត្រូវបានអនុវត្ត។ \(i^2=-1\) គឺ។ មិនមានការបែងចែកករណីសម្រាប់មេគុណស្មុគស្មាញ; រូបមន្តអនុវត្តជាមួយឫសការ៉េទាំងពីរ:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
សម្រាប់ \(n=3\) រូបមន្តរបស់ Cardano ត្រូវបានសរសេរដោយផ្ទាល់នៅក្នុង \(a,b,c,d\) ។ អក្សរ \(k\) គ្រាន់តែជាលិបិក្រមដំណោះស្រាយ៖ តម្លៃ \(1,2,3\) ជ្រើសរើសលេខសូន្យទាំងបី មិនមានបរិមាណជំនួយផ្សេងទៀតទេ។ អំណាចមាន ឫសគល់ទីបីបឋមនៃការរួបរួម ដែលសរសេរចេញ។ និមិត្តសញ្ញាឫសនីមួយៗតំណាងឱ្យឫសស្មុគស្មាញណាមួយ; កន្សោមដដែលៗត្រូវតែបញ្ជាក់តម្លៃដូចគ្នានៅគ្រប់ទីកន្លែង។ តែជាមួយ \(b^2-3ac=0\) តើឫសការ៉េខាងក្នុងត្រូវតែមានតម្លៃ \(2b^3-9abc+27a^2d\) បើមិនដូច្នេះទេ រ៉ាឌីកាល់នៃឫសគូបនឹងទៅជាសូន្យ:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) បង្ហាញពីរបៀបដែលការកំណត់ឫសការ៉េខាងក្នុងដំណើរការ៖ នៅទីនេះ \(b^2-3ac=0\) និង \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) ជាមួយនឹងតម្លៃ \(27\) ជំនួសឱ្យ \(-27\) ឫសគូបនឹងជា \(\frac{-27+27}{2}=0\) ហើយរូបមន្តនឹងមិនអាចវាយតម្លៃបានទេ។ លក្ខខណ្ឌនៅក្រោមសមីការដំបូងមិនរាប់បញ្ចូលករណីដែលកន្សោមទាំងពីរគឺសូន្យ ហើយឫសគូបដូច្នេះតែងតែបាត់។ បន្ទាប់មកសមីការមានសូន្យបី ហើយមិនត្រូវបានគ្របដណ្តប់ដោយរូបមន្តដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅទីនេះទេ។
សម្រាប់មេគុណគូបពិតប្រាកដ សញ្ញានៃ \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) កំណត់សូន្យ៖ តម្លៃវិជ្ជមានមានន័យថាដំណោះស្រាយពិតបីផ្សេងគ្នា តម្លៃអវិជ្ជមានមានន័យថាមួយពិត និងពីរមិនពិត នៅសូន្យទាំងអស់គឺពិតប្រាកដជាមួយនឹងការធ្វើម្តងទៀត។ ក្នុងករណីដំបូង រូបមន្ត Cardano នេះបង្ខំឱ្យតម្លៃមធ្យមស្មុគស្មាញ។ រូបមន្តរ៉ាឌីកាល់មានលក្ខណៈពិជគណិតពិតប្រាកដ ប៉ុន្តែមិនតែងតែមានស្ថេរភាពជាលេខទេ៖ តម្លៃមធ្យមដែលដូចគ្នាបេះបិទស្ទើរតែអាចចំណាយខ្ទង់ក្នុងការគណនាចំណុចអណ្តែតទឹក; បើចាំបាច់ ភាពជាក់លាក់ខ្ពស់ត្រូវបានប្រើ។
សម្រាប់ \(n=4\) រូបមន្តរបស់ Ferrari ក៏ត្រូវបានសរសេរទាំងស្រុងនៅក្នុង \(a,b,c,d,e\) ។ សន្ទស្សន៍ \(k\) ដំណើរការពី \(1\) ទៅ \(4\) ; អំណាចនៃ \(-1\) ចាប់យកការផ្សំសញ្ញាទាំងបួន ហើយផ្គូផ្គងឫសឱ្យបានត្រឹមត្រូវ។ កន្សោមឫសដូចគ្នាតំណាងឱ្យតម្លៃដូចគ្នា សូម្បីតែសម្រាប់ \(k\) ផ្សេងគ្នា។ សម្រាប់ \(c^2-3bd+12ae=0\) \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) គឺជាតម្លៃនៃឫសការ៉េខាងក្នុង។ លក្ខខណ្ឌនៅក្រោមសមីការដំបូងរារាំងការបែងចែកដោយសូន្យ; រាល់លេខសូន្យត្រូវបានកត់ត្រាជាមួយនឹងគុណរបស់វា។:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
លក្ខខណ្ឌទី 1 មិនរាប់បញ្ចូលពហុនាមដែលស៊ីមេទ្រីអំពីទីតាំង \(x=-\frac{b}{4a}\) រួមទាំងសមីការ biquadratic ជាមួយ \(b=d=0\) ដូចជា \(x^4-5x^2+4=0\) ។ នៅទីនោះឫសធំដំបូងអាចក្លាយជាសូន្យ ហើយបន្ទាប់មកនៅក្នុងភាគបែង។ លក្ខខណ្ឌទីពីរមិនរាប់បញ្ចូលយ៉ាងហោចណាស់សូន្យបីឧទាហរណ៍ជាមួយ \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) : នៅទីនេះឫសគូបបាត់នៅក្នុងភាគបែង។ ករណីពិសេសដែលមិនរាប់បញ្ចូលមិនត្រូវបានគ្របដណ្តប់ដោយរូបមន្តប្រអប់; រូបមន្តដំណោះស្រាយបន្ថែមត្រូវបានលុបចោលនៅទីនេះ។
ពី \(n=5\) សូម្បីតែជំនាញទន្ទេញចាំដ៏ល្អបំផុតក៏មិនអាចជួយបានដែរ៖ មិនមានរូបមន្តទូទៅដែលបង្កើតឡើងដោយចំនួនកំណត់នៃប្រតិបត្តិការនព្វន្ធមូលដ្ឋាន និងឫសទេ។ នេះជាអ្វីដែល ទ្រឹស្តីបទ Abel-Ruffini និយាយ។ ភស្តុតាងអាចត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុង Milne's Fields និង Galois Theory ។ សមីការបុគ្គលនៅតែអាចដោះស្រាយបានដោយប្រើរ៉ាឌីកាល់។ ហើយតម្លៃប្រហាក់ប្រហែល និងមុខងារពិសេសផ្សេងទៀតនៅតែមាន ដូចជារ៉ាឌីកាល់របស់ Bring នៅដឺក្រេទីប្រាំ។ ដូច្នេះសូន្យមិនបាត់ទេ មានតែការរំពឹងទុកនៃរូបមន្តឫសសកលប៉ុណ្ណោះ។