Midnatsformlen har fået sit navn fra et skolekrav: du skal være i stand til at recitere løsningsformlen for andengradsligninger, selvom du bliver vækket midt om natten. Ved tredje og fjerde grad bliver dette tankespil meget mere krævende. Der er også lukkede formler for dette ved hjælp af grundlæggende aritmetik og rødder, men de er betydeligt længere. Her er de helt i de oprindelige koefficienter \(a,b,c,d,e\) , uden hjælpevariable og med de nødvendige betingelser.
Den førende koefficient opfylder altid \(a\ne0\) ; ellers falder graden. Vi leder efter alle komplekse nuller inklusive multipla. I det lineære tilfælde \(n=1\) er koefficienterne \(a\) og \(b\) tilstrækkelige: ligningen kan løses direkte for \(x\) og har præcis et simpelt nul. Dette gælder også for komplekse koefficienter. For \(a=0\) er der dog ingen løsning for \(b\ne0\) ; er \(a=b=0\) , er hvert kompleks \(x\) en løsning. For den faktiske lineære ligning får man:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
For \(n=2\) indeholder andengradsligningen koefficienterne \(a,b,c\) . Med \(k=1,2\) ændrer \((-1)^k\) tegnet og returnerer begge nuller inklusive multipla. For reelle koefficienter er der to forskellige reelle løsninger for \(b^2-4ac>0\) , for \(b^2-4ac=0\) en dobbelt og for en negativ værdi to konjugerede komplekser: Derefter kan du vælge rødderne, så \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) \(i\) imaginære enhed \(i^2=-1\) er. Der er ingen kasus-skelning for komplekse koefficienter; formlen gælder med begge kvadratrødder:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
For \(n=3\) skrives Cardanos formel direkte i \(a,b,c,d\) . Bogstavet \(k\) er kun et løsningsindeks: værdierne \(1,2,3\) vælger de tre nuller, ingen anden hjælpestørrelse. Kraften indeholder en udskrevet primitiv tredje rod af enhed . Hvert rodsymbol repræsenterer enhver kompleks rod; et gentaget udtryk skal angive den samme værdi overalt. Kun med \(b^2-3ac=0\) skal den indre kvadratrod have værdien \(2b^3-9abc+27a^2d\) , ellers bliver radikanden af terningroden nul:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) viser, hvordan bestemmelsen af den indre kvadratrod fungerer: Her \(b^2-3ac=0\) og \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) . Med værdien \(27\) i stedet for \(-27\) ville terningroden være \(\frac{-27+27}{2}=0\) , og formlen ville ikke være evaluerbar. Betingelsen under den indledende ligning udelukker præcis det tilfælde, hvor begge udtryk er nul, og terningroden derfor altid forsvinder. Ligningen har så et tredobbelt nul og er ikke dækket af den her angivne formel.
For reelle kubiske koefficienter bestemmer tegnet for \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) nullerne: En positiv værdi betyder tre forskellige reelle løsninger, en negativ værdi betyder en reel og to ikke-reelle, ved nul er alle reelle med gentagelser. I det første tilfælde fremtvinger denne Cardano-formel komplekse mellemværdier. Radikale formler er algebraisk nøjagtige, men ikke altid numerisk stabile: næsten identiske mellemværdier kan koste cifre i flydende kommaberegninger; om nødvendigt anvendes højere præcision.
For \(n=4\) er Ferraris formel også skrevet helt ud i \(a,b,c,d,e\) . Indekset \(k\) løber fra \(1\) til \(4\) ; potenserne af \(-1\) fanger alle fire tegnkombinationer og kobler rødderne på passende måde. De samme rodudtryk angiver den samme værdi, selv for forskellige \(k\) . For \(c^2-3bd+12ae=0\) \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) er værdien af den indre kvadratrod. Betingelserne under den indledende ligning forhindrer division med nul; hvert nul registreres med dets multiplicitet:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
Den første betingelse udelukker polynomier, der er symmetriske om positionen \(x=-\frac{b}{4a}\) , inklusive biquadratiske ligninger med \(b=d=0\) såsom \(x^4-5x^2+4=0\) . Der kan den første store rod blive nul og er så i nævneren. Den anden betingelse udelukker mindst et tredobbelt nul, for eksempel med \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) : Her forsvinder terningroden i nævneren. De udelukkede særlige tilfælde er ikke omfattet af den indrammede formel; yderligere løsningsformler er udeladt her.
Fra \(n=5\) hjælper selv de bedste huskefærdigheder ikke: der er ingen generel formel, der består af et begrænset antal grundlæggende aritmetiske operationer og rødder. Dette er, hvad Abel-Ruffini-sætningen siger; et bevis kan findes i Milne's Fields and Galois Theory . Individuelle ligninger kan stadig løses ved hjælp af radikaler. Og andre omtrentlige værdier og specielle funktioner forbliver, såsom Brings radikale i femte grad. Så nullerne forsvinder ikke, kun udsigten til en universel rodformel.