Ο τύπος των μεσάνυχτων πήρε το όνομά του από μια σχολική απαίτηση: θα πρέπει να μπορείτε να απαγγέλλετε τον τύπο λύσης για τις εξισώσεις του δευτεροβάθμιου βαθμού, ακόμα κι αν σας ξυπνήσουν στη μέση της νύχτας. Στην τρίτη και τέταρτη μοίρα, αυτό το παιχνίδι σκέψης γίνεται πολύ πιο απαιτητικό. Υπάρχουν επίσης κλειστοί τύποι για αυτό χρησιμοποιώντας βασική αριθμητική και ρίζες, αλλά είναι αρκετά μεγαλύτεροι. Εδώ βρίσκονται πλήρως στους αρχικούς συντελεστές \(a,b,c,d,e\) , χωρίς βοηθητικές μεταβλητές και με τις απαραίτητες προϋποθέσεις.
Ο κύριος συντελεστής ικανοποιεί πάντα \(a\ne0\) ; αλλιώς πέφτει ο βαθμός. Αναζητούμε όλα τα μιγαδικά μηδενικά συμπεριλαμβανομένων των πολλαπλασίων. Στη γραμμική περίπτωση \(n=1\) οι συντελεστές \(a\) και \(b\) είναι επαρκείς: η εξίσωση μπορεί να λυθεί απευθείας για \(x\) και έχει ακριβώς ένα απλό μηδέν. Αυτό ισχύει και για σύνθετους συντελεστές. Για το \(a=0\) ωστόσο, δεν υπάρχει λύση για το \(b\ne0\) ; είναι \(a=b=0\) , κάθε μιγαδικός \(x\) είναι μια λύση. Για την πραγματική γραμμική εξίσωση προκύπτει:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
Για \(n=2\) η τετραγωνική εξίσωση περιέχει τους συντελεστές \(a,b,c\) . Με \(k=1,2\) \((-1)^k\) αλλάζει το πρόσημο και επιστρέφει και τα δύο μηδενικά συμπεριλαμβανομένων των πολλαπλασίων. Για πραγματικούς συντελεστές υπάρχουν δύο διαφορετικές πραγματικές λύσεις για \(b^2-4ac>0\) , για \(b^2-4ac=0\) μια διπλή και για μια αρνητική τιμή δύο συζευγμένα σύμπλοκα: Στη συνέχεια, μπορείτε να επιλέξετε τις ρίζες έτσι ώστε \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) , όπου η μονάδα είναι η εφαρμογή \(i\) \(i^2=-1\) είναι. Δεν υπάρχει διάκριση περίπτωσης για μιγαδικούς συντελεστές. ο τύπος ισχύει και για τις δύο τετραγωνικές ρίζες:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
Για \(n=3\) ο τύπος του Cardano γράφεται απευθείας στο \(a,b,c,d\) . Το γράμμα \(k\) είναι απλώς ένας δείκτης λύσης: οι τιμές \(1,2,3\) επιλέγουν τα τρία μηδενικά, καμία άλλη βοηθητική ποσότητα. Η δύναμη περιέχει μια γραπτή πρωτόγονη τρίτη ρίζα της ενότητας . Κάθε σύμβολο ρίζας αντιπροσωπεύει οποιαδήποτε σύνθετη ρίζα. μια επαναλαμβανόμενη έκφραση πρέπει να υποδηλώνει την ίδια τιμή παντού. Μόνο με \(b^2-3ac=0\) η εσωτερική τετραγωνική ρίζα πρέπει να έχει την τιμή \(2b^3-9abc+27a^2d\) , διαφορετικά η ρίζα της κυβικής ρίζας γίνεται μηδέν:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) δείχνει πώς λειτουργεί ο προσδιορισμός της εσωτερικής τετραγωνικής ρίζας: Εδώ \(b^2-3ac=0\) και \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) . Με την τιμή \(27\) αντί για \(-27\) η ρίζα του κύβου θα είναι \(\frac{-27+27}{2}=0\) και ο τύπος δεν θα είναι αξιολογήσιμος. Η συνθήκη κάτω από την αρχική εξίσωση αποκλείει ακριβώς την περίπτωση στην οποία και οι δύο εκφράσεις είναι μηδέν και επομένως η κυβική ρίζα εξαφανίζεται πάντα. Η εξίσωση τότε έχει τριπλό μηδέν και δεν καλύπτεται από τον τύπο που δίνεται εδώ.
Για πραγματικούς κυβικούς συντελεστές, το πρόσημο του \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) καθορίζει τα μηδενικά: Μια θετική τιμή σημαίνει τρεις διαφορετικές πραγματικές λύσεις, μια αρνητική τιμή σημαίνει μια πραγματική και δύο μη πραγματικές, στο μηδέν όλες είναι πραγματικές με επαναλήψεις. Στην πρώτη περίπτωση, αυτός ο τύπος Cardano επιβάλλει σύνθετες ενδιάμεσες τιμές. Οι ριζοσπαστικοί τύποι είναι αλγεβρικά ακριβείς, αλλά όχι πάντα αριθμητικά σταθεροί: σχεδόν πανομοιότυπες ενδιάμεσες τιμές μπορεί να κοστίζουν ψηφία στους υπολογισμούς κινητής υποδιαστολής. εάν είναι απαραίτητο, χρησιμοποιείται μεγαλύτερη ακρίβεια.
Για \(n=4\) ο τύπος της Ferrari είναι επίσης γραμμένος πλήρως σε \(a,b,c,d,e\) . Το ευρετήριο \(k\) εκτελείται από \(1\) έως \(4\) ; οι δυνάμεις του \(-1\) καταγράφουν και τους τέσσερις συνδυασμούς σημείων και συνδυάζουν τις ρίζες κατάλληλα. Οι ίδιες εκφράσεις ρίζας δηλώνουν την ίδια τιμή, ακόμη και για διαφορετικά \(k\) . Για \(c^2-3bd+12ae=0\) \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) είναι η τιμή της εσωτερικής τετραγωνικής ρίζας. Οι συνθήκες κάτω από την αρχική εξίσωση εμποδίζουν τη διαίρεση με το μηδέν. κάθε μηδέν καταγράφεται με την πολλαπλότητά του:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
Η πρώτη συνθήκη εξαιρεί πολυώνυμα που είναι συμμετρικά ως προς τη θέση \(x=-\frac{b}{4a}\) , συμπεριλαμβανομένων των διτετραγωνικών εξισώσεων με \(b=d=0\) όπως \(x^4-5x^2+4=0\) . Εκεί η πρώτη μεγάλη ρίζα μπορεί να γίνει μηδέν και μετά βρίσκεται στον παρονομαστή. Η δεύτερη συνθήκη αποκλείει τουλάχιστον ένα τριπλό μηδέν, για παράδειγμα με \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) : Εδώ η ρίζα του κύβου εξαφανίζεται στον παρονομαστή. Οι εξαιρούμενες ειδικές περιπτώσεις δεν καλύπτονται από τον τύπο του κουτιού. Οι πρόσθετοι τύποι λύσεων παραλείπονται εδώ.
Από το \(n=5\) ακόμη και οι καλύτερες δεξιότητες απομνημόνευσης δεν βοηθούν: δεν υπάρχει γενικός τύπος που να αποτελείται από έναν πεπερασμένο αριθμό βασικών αριθμητικών πράξεων και ριζών. Αυτό λέει το θεώρημα Abel-Ruffini . μια απόδειξη μπορεί να βρεθεί στο Milne's Fields και στη Θεωρία Galois . Μεμονωμένες εξισώσεις μπορούν ακόμα να λυθούν χρησιμοποιώντας ρίζες. Και παραμένουν άλλες κατά προσέγγιση τιμές και ειδικές συναρτήσεις, όπως η ρίζα του Bring στον πέμπτο βαθμό. Έτσι τα μηδενικά δεν εξαφανίζονται, μόνο η προοπτική μιας καθολικής ρίζας.