Formuła o północy wzięła swoją nazwę od szkolnego wymogu: powinieneś być w stanie wyrecytować wzór rozwiązania równań kwadratowych, nawet jeśli obudzisz się w środku nocy. Na trzecim i czwartym stopniu ta gra myślowa staje się znacznie bardziej wymagająca. Istnieją również zamknięte formuły wykorzystujące podstawową arytmetykę i pierwiastki, ale są one znacznie dłuższe. Tutaj są całkowicie w oryginalnych współczynnikach \(a,b,c,d,e\) , bez zmiennych pomocniczych i z niezbędnymi warunkami.
Współczynnik wiodący zawsze spełnia \(a\ne0\) ; w przeciwnym razie stopień spadnie. Szukamy wszystkich zer zespolonych, w tym wielokrotności. W przypadku liniowym \(n=1\) wystarczą współczynniki \(a\) i \(b\) : równanie można rozwiązać bezpośrednio dla \(x\) i ma dokładnie jedno proste zero. Dotyczy to również współczynników złożonych. Jednakże dla \(a=0\) nie ma rozwiązania dla \(b\ne0\) ; są \(a=b=0\) , każdy kompleks \(x\) jest rozwiązaniem. Dla rzeczywistego równania liniowego otrzymuje się:
$$ax+b=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=-\frac{b}{a},\qquad k\in\{1\}.}$$
Dla \(n=2\) równanie kwadratowe zawiera współczynniki \(a,b,c\) . Za pomocą \(k=1,2\) \((-1)^k\) zmienia znak i zwraca oba zera, łącznie z wielokrotnościami. Dla współczynników rzeczywistych istnieją dwa różne rozwiązania rzeczywiste dla \(b^2-4ac>0\) , dla \(b^2-4ac=0\) podwójnego i dla wartości ujemnej dwa kompleksy sprzężone: Następnie możesz wybrać pierwiastki tak, aby zastosowanie miało \(\sqrt{b^2-4ac}=i\sqrt{4ac-b^2}\) , gdzie \(i\) jest jednostką urojoną z \(i^2=-1\) jest. Nie ma rozróżnienia przypadków dla złożonych współczynników; wzór dotyczy obu pierwiastków kwadratowych:
$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0.$$
$$\boxed{x_k=\frac{-b+(-1)^k\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\qquad k\in\{1,2\}.}$$
Dla \(n=3\) wzór Cardano jest zapisany bezpośrednio w \(a,b,c,d\) . Litera \(k\) jest po prostu indeksem rozwiązania: wartości \(1,2,3\) wybierają trzy zera, a nie inną wielkość pomocniczą. Potęga zawiera wypisany prymitywny trzeci pierwiastek jedności . Każdy symbol pierwiastka reprezentuje dowolny złożony pierwiastek; powtarzane wyrażenie musi oznaczać wszędzie tę samą wartość. Tylko w przypadku \(b^2-3ac=0\) wewnętrzny pierwiastek kwadratowy musi mieć wartość \(2b^3-9abc+27a^2d\) , w przeciwnym razie radikanda pierwiastka sześciennego wyniesie zero:
$$ax^3+bx^2+cx+d=0,\qquad a\ne0.$$
$$\left(b^2-3ac,\;2b^3-9abc+27a^2d\right)\ne(0,0).$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{3a}-\frac{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}}{3a}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}-\frac{b^2-3ac}{3a\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{k-1}\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\begin{aligned}&2b^3-9abc+27a^2d\\&+\sqrt{\left(2b^3-9abc+27a^2d\right)^2-4\left(b^2-3ac\right)^3}\end{aligned}\right)}}\\[5pt]k\in\{1,2,3\}.\end{gathered}}$$
\(x^3-1=0\) pokazuje, jak działa wyznaczanie wewnętrznego pierwiastka kwadratowego: Tutaj \(b^2-3ac=0\) i \(2b^3-9abc+27a^2d=-27\) . Przy wartości \(27\) zamiast \(-27\) pierwiastkiem sześciennym będzie \(\frac{-27+27}{2}=0\) , a formuła nie będzie możliwa do obliczenia. Warunek pod równaniem początkowym wyklucza dokładnie przypadek, w którym oba wyrażenia mają wartość zero i dlatego pierwiastek sześcienny zawsze znika. Równanie ma wówczas potrójne zero i nie jest objęte podanym tutaj wzorem.
W przypadku rzeczywistych współczynników sześciennych znak \(b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\) określa zera: wartość dodatnia oznacza trzy różne rozwiązania rzeczywiste, wartość ujemna oznacza jedno rzeczywiste i dwa nierzeczywiste, przy zera wszystkie są rzeczywiste z powtórzeniami. W pierwszym przypadku ta formuła Cardano wymusza złożone wartości pośrednie. Formuły radykalne są algebraicznie dokładne, ale nie zawsze stabilne numerycznie: prawie identyczne wartości pośrednie mogą kosztować cyfry w obliczeniach zmiennoprzecinkowych; w razie potrzeby stosowana jest większa precyzja.
Dla \(n=4\) wzór Ferrari jest również w całości zapisany w \(a,b,c,d,e\) . Indeks \(k\) przebiega od \(1\) do \(4\) ; potęgi \(-1\) przechwytują wszystkie cztery kombinacje znaków i odpowiednio łączą pierwiastki. Te same wyrażenia główne oznaczają tę samą wartość, nawet dla różnych \(k\) . Dla \(c^2-3bd+12ae=0\) \(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\) jest wartością wewnętrznego pierwiastka kwadratowego. Warunki równania początkowego uniemożliwiają dzielenie przez zero; każde zero jest rejestrowane wraz z jego krotnością:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,\qquad a\ne0.$$
$$\begin{gathered}b^3-4abc+8a^2d\ne0,\\\left(c^2-3bd+12ae,\;2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)\ne(0,0).\end{gathered}$$
$$\boxed{\begin{gathered}x_k=-\frac{b}{4a}\\[6pt]+\frac{(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}\\[6pt]+\frac{(-1)^k\sqrt{3}}{12a}\sqrt{\begin{aligned}&6b^2-16ac-4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&-\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\\&-\frac{6(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\sqrt{3}\left(b^3-4abc+8a^2d\right)}{\sqrt{\begin{aligned}&3b^2-8ac+4a\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}\\&+\frac{4a\left(c^2-3bd+12ae\right)}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{\left(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace\right)^2-4\left(c^2-3bd+12ae\right)^3}\right)}}\end{aligned}}}\end{aligned}}\\[6pt]k\in\{1,2,3,4\}.\end{gathered}}$$
Pierwszy warunek wyklucza wielomiany symetryczne względem położenia \(x=-\frac{b}{4a}\) , w tym równania dwukwadratowe z \(b=d=0\) takie jak \(x^4-5x^2+4=0\) . Tam pierwszy duży pierwiastek może wynosić zero i wtedy znajduje się w mianowniku. Drugi warunek wyklucza co najmniej potrójne zero, na przykład przy \(x^4-6x^2+8x-3=(x-1)^3(x+3)=0\) : Tutaj pierwiastek sześcienny znika w mianowniku. Wykluczone przypadki szczególne nie są objęte formułą pudełkową; dodatkowe wzory rozwiązań są tutaj pominięte.
Od \(n=5\) nawet najlepsze umiejętności zapamiętywania nie pomagają: nie ma ogólnego wzoru składającego się ze skończonej liczby podstawowych operacji arytmetycznych i pierwiastków. To właśnie mówi twierdzenie Abela-Ruffiniego ; dowód można znaleźć w Milne's Fields i Galois Theory . Poszczególne równania można nadal rozwiązać za pomocą pierwiastków. Pozostają inne przybliżone wartości i funkcje specjalne, takie jak pierwiastek Bringa na piątym stopniu. Zatem zera nie znikają, a jedynie perspektywa uniwersalnego wzoru na pierwiastek.