Прямоугольный февраль

Иногда февраль в календаре имеет необычайно привлекательную форму. Например, в феврале 2021 года вы можете испытать такой момент - "идеально прямоугольный февраль". Этот редкий эффект возникает, когда в феврале ровно \ (28\) дней и 1 февраля выпадает на понедельник. Но как часто такое случается на самом деле и как долго вам придется ждать следующего раза?


Для того чтобы февраль выглядел "идеально прямоугольным", необходимо соблюсти два условия:

  1. Год должен быть невисокосным, чтобы в феврале было ровно \ (28\) дней.,
  2. 1 февраля должно приходиться на понедельник.

Если оба условия выполнены, то февраль точно вписывается в сетку \ (4x7\) календаря, при этом дни других месяцев не появляются на той же неделе.:

Таким образом, в григорианском календаре существует \ (14\) возможных типов календарей: семь для невисокосных лет(\(365\) дней), в которых 1 января выпадает на другой день недели, и семь для високосных лет(\(366\) дней), в которых 1 января также выпадает на другой день недели.

Предположим, что календарь с \ (365\) днями, в котором 1 января приходится на понедельник, называется \ (A\). Календарь, в котором год начинается во вторник, - \ (B\), в среду - \ (C\), и так далее до \ (G\). Затем мы называем календари с \ (366\) днями, в которых 1 января приходится на понедельник \ (1\), вторник - \ (2\), и так далее. В результате получаем следующие 14 различных календарей:

  • 365 дней: \(A, B, C, D, E, F, G\)
  • 366 дней (високосные годы): \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\)

Теперь в январе всегда \ (31\) дней, а мы хотим, чтобы февраль начинался в понедельник. Это значит, что 31 января должно приходиться на воскресенье. Если 24, 17, 10 и 3 января - воскресенья, то 1 января приходится на пятницу. Поэтому мы ищем календарь \ (E\). Календарь \ (5\) не может быть использован, потому что это високосные годы, в которых февраль имеет \ (29\) дней.

Календарь следует \ (400\)-летнему циклу. В этом цикле есть \ (97\) -високосные годы, и цикл состоит из \ (146 097\) -дневного периода. После этого цикл начинается снова. В \ (2001\) -м году начался новый цикл, и 1 января выпало на понедельник. В обычном \ (365\)-дневном году новый год всегда начинается в следующий будний день по сравнению с предыдущим годом. Однако после високосного года новый год начинается на два дня позже. Таким образом, 1 января 2001 года было понедельником, 2002 - вторником, 2003 - средой, 2004 - четвергом и 2005 - субботой. В вековые годы не бывает високосных лет, если только вековой год кратен \ (400\) -му.

Последовательность календарей в течение \ (400\)-летнего цикла такова:

$$\displaylines{ABC4 \,\, FGA2 \,\, DEF7 \,\, BCD5 \,\, GAB3\\
EFG1 \,\, CDE6 \,\, ABC4 \,\, FGA2 \,\, DEF7\\
BCD5 \,\, GAB3 \,\, EFG1 \,\, CDE6 \,\, ABC4\\
FGA2 \,\, DEF7 \,\, BCD5 \,\, GAB3 \,\, EFG1\\
CDE6 \,\, ABC4 \,\, FGA2 \,\, DEF7 \,\, BCDE\\
FGA2 \,\, DEF7 \,\, BCD5 \,\, GAB3 \,\, EFG1\\
CDE6 \,\, ABC4 \,\, FGA2 \,\, DEF7 \,\, BCD5\\
GAB3 \,\, EFG1 \,\, CDE6 \,\, ABC4 \,\, FGA2\\
DEF7 \,\, BCD5 \,\, GAB3 \,\, EFG1 \,\, CDE6\\
ABC4 \,\, FGA2 \,\, DEF7 \,\, BCD5 \,\, GABC\\
DEF7 \,\, BCD5 \,\, GAB3 \,\, EFG1 \,\, CDE6\\
ABC4 \,\, FGA2 \,\, DEF7 \,\, BCD5 \,\, GAB3\\
EFG1 \,\, CDE6 \,\, ABC4 \,\, FGA2 \,\, DEF7\\
BCD5 \,\, GAB3 \,\, EFG1 \,\, CDE6 \,\, ABC4\\
FGA2 \,\, DEF7 \,\, BCD5 \,\, GAB3 \,\, EFGA\\
BCD5 \,\, GAB3 \,\, EFG1 \,\, CDE6 \,\, ABC4\\
FGA2 \,\, DEF7 \,\, BCD5 \,\, GAB3 \,\, EFG1\\
CDE6 \,\, ABC4 \,\, FGA2 \,\, DEF7 \,\, BCD5\\
GAB3 \,\, EFG1 \,\, CDE6 \,\, ABC4 \,\, FGA2\\
DEF7 \,\, BCD5 \,\, GAB3 \,\, EFG1 \,\, CDE6}$$

Осталось подсчитать, как часто календарь \ (E\) встречается в этой последовательности. Всего \ (43\) случаев:

$$\frac{43}{400} = \frac{10,75}{100} = 10,75\%$$

Идеально прямоугольный февраль - редкое календарное явление, которое случается примерно раз в десять лет, поэтому, когда в следующий раз вы увидите календарь с идеально прямоугольным февралем, знайте, что вы стали свидетелем редкого и прекрасного момента, который случается примерно раз в десять лет. Следующий раз, кстати, будет в феврале 2027 года.

Назад