Le mois de février prend parfois une forme particulièrement attrayante dans le calendrier. Par exemple, en février 2021, on a pu observer un « février parfaitement rectangulaire ». Ce phénomène rare se produit lorsque février compte exactement \(28\) jours et que le 1er février tombe un lundi. Mais à quelle fréquence cela se produit-il réellement, et combien de temps faut-il attendre avant que cela se reproduise ?
Pour que le mois de février apparaisse "parfaitement rectangulaire", deux conditions doivent être remplies:
- Il doit s'agir d'une année non bissextile, de sorte que le mois de février compte exactement \ (28\) jours.,
- le 1er février doit tomber un lundi.
Si ces deux conditions sont remplies, le mois de février s'inscrit exactement dans une grille \ (4x7\) du calendrier, sans que des jours d'autres mois n'apparaissent dans la même semaine:
Dans le calendrier grégorien, il existe donc \(14\) types de calendrier possibles : sept pour les années non bissextiles ( \(365\) jours), dans lesquelles le 1er janvier tombe un autre jour de la semaine, et sept pour les années bissextiles \(366\) jours), dans lesquelles le 1er janvier tombe également un autre jour de la semaine.
Supposons que nous désignons le calendrier \(365\) jours où le 1er janvier tombe un lundi par \(A\) . Le calendrier où l'année commence un mardi est \(B\) , celui d'un mercredi est \(C\) et ainsi de suite jusqu'à \(G\) . Ensuite, nous désignons le calendrier \(366\) jours où le 1er janvier tombe un lundi par \(1\) , celui un mardi par \(2\) , et ainsi de suite. Cela donne les 14 calendriers différents suivants:
- 365 jours: \(A, B, C, D, E, F, G\)
- 366 jours (années bissextiles): \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\)
Désormais, janvier compte toujours \(31\) jours et nous voulons que février commence un lundi. Cela signifie que le 31 janvier doit tomber un dimanche. Si les 24, 17, 10 et 3 janvier sont des dimanches, alors le 1er janvier tombe un vendredi. Nous recherchons donc le calendrier \(E\) . Le calendrier \(5\) ne peut pas être utilisé car il s'agit d'un calendrier d'année bissextile avec \(29\) jours en février.
Le calendrier suit un cycle annuel \ (400\). Dans ce cycle, il y a des années bissextiles \ (97\) et le cycle comprend au total \ (146.097\) jours. Ensuite, le cycle recommence. En l'année \ (2001\), un nouveau cycle a commencé et le 1er janvier tombait un lundi. Dans une année régulière de \ (365\) jours, la nouvelle année commence toujours le jour de semaine suivant par rapport à l'année précédente. Cependant, après une année bissextile, la nouvelle année commence deux jours plus tard. Ainsi, le 1er janvier 2001 était un lundi, 2002 un mardi, 2003 un mercredi, 2004 un jeudi et 2005 un samedi. Il n'y a pas d'années bissextiles dans les années du siècle, à moins que l'année du siècle soit divisible par \ (400\).
La séquence calendaire sur un cycle de \(400\) ans est la suivante:
$$\displaylines{ABC4 \,\, FGA2 \,\, DEF7 \,\, BCD5 \,\, GAB3\\
EFG1 \,\, CDE6 \,\, ABC4 \,\, FGA2 \,\, DEF7\\
BCD5 \,\, GAB3 \,\, EFG1 \,\, CDE6 \,\, ABC4\\
FGA2 \,\, DEF7 \,\, BCD5 \,\, GAB3 \,\, EFG1\\
CDE6 \,\, ABC4 \,\, FGA2 \,\, DEF7 \,\, BCDE\\
FGA2 \,\, DEF7 \,\, BCD5 \,\, GAB3 \,\, EFG1\\
CDE6 \,\, ABC4 \,\, FGA2 \,\, DEF7 \,\, BCD5\\
GAB3 \,\, EFG1 \,\, CDE6 \,\, ABC4 \,\, FGA2\\
DEF7 \,\, BCD5 \,\, GAB3 \,\, EFG1 \,\, CDE6\\
ABC4 \,\, FGA2 \,\, DEF7 \,\, BCD5 \,\, GABC\\
DEF7 \,\, BCD5 \,\, GAB3 \,\, EFG1 \,\, CDE6\\
ABC4 \,\, FGA2 \,\, DEF7 \,\, BCD5 \,\, GAB3\\
EFG1 \,\, CDE6 \,\, ABC4 \,\, FGA2 \,\, DEF7\\
BCD5 \,\, GAB3 \,\, EFG1 \,\, CDE6 \,\, ABC4\\
FGA2 \,\, DEF7 \,\, BCD5 \,\, GAB3 \,\, EFGA\\
BCD5 \,\, GAB3 \,\, EFG1 \,\, CDE6 \,\, ABC4\\
FGA2 \,\, DEF7 \,\, BCD5 \,\, GAB3 \,\, EFG1\\
CDE6 \,\, ABC4 \,\, FGA2 \,\, DEF7 \,\, BCD5\\
GAB3 \,\, EFG1 \,\, CDE6 \,\, ABC4 \,\, FGA2\\
DEF7 \,\, BCD5 \,\, GAB3 \,\, EFG1 \,\, CDE6}$$
Il ne nous reste plus qu'à compter le nombre d'occurrences du calendrier \ (E\) dans cette séquence. Il y a des occurrences \ (43\) :
$$\frac{43}{400} = \frac{10,75}{100} = 10,75\%$$
Un mois de février parfaitement rectangulaire est un phénomène calendaire rare qui ne se produit qu'une fois tous les dix ans environ. Donc, la prochaine fois que tu verras un calendrier avec un mois de février parfaitement rectangulaire, tu sauras que tu es témoin d'un moment rare et magnifique qui ne se produit qu'une fois tous les dix ans environ. La prochaine fois aura d'ailleurs déjà lieu en février 2027.