Liczby skończone dziesiętne są nazywane ułamkami dziesiętnymi, ponieważ są inną reprezentacją ułamków o potęgach dziesięciu w mianowniku. Więc jest:
$$\frac{z}{n} = \frac{q_1}{1} + \frac{q_2}{10} + \dots + \frac{q_k}{10^k}$$
z \(k \in \mathbb{N}\) i \(q_k\) \(k-1\) -tym miejscu od prawej po przecinku.
Teraz jest:
$$\frac{z}{n} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{10^k} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{2^k \cdot 5^k}$$
Oznacza to: Jeśli mianownik można rozszerzyć do \(2^k \cdot 5^k\) dla ułamka ogólnego w postaci całkowicie skróconej \(\frac{z}{n}\) , jest to skończony ułamek dziesiętny . Jeśli weźmiemy pod uwagę faktoryzację pierwszą mianownika \(n = p_1^{l_1} \cdot \, \dots \, \cdot p_j^{l_j}\) , to zgodnie z podstawowym twierdzeniem arytmetyki można to wyrazić jako \(f = 2^{km} \cdot 5^{kn}\) do \(2^k \cdot 5^k\) jeśli \(n = 2^m \cdot 5^n\) . Dotyczy to:
Tylko ułamki, których mianowniki nie mają czynników pierwszych innych niż 2 lub 5, gdy są w pełni skrócone, dają skończony ułamek dziesiętny.