有限の10進数は、分母が10の累乗である分数の表現が異なるため、小数と呼ばれます。 そうです:
$$\frac{z}{n} = \frac{q_1}{1} + \frac{q_2}{10} + \dots + \frac{q_k}{10^k}$$
\(k \in \mathbb{N}\)および\(q_k\)は、カンマの直後の\(k-1\)番目の場所です。
今は:
$$\frac{z}{n} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{10^k} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{2^k \cdot 5^k}$$
この手段は分母をに拡張することができる場合\(2^k \cdot 5^k\)完全に省略形で一般的な画分\(\frac{z}{n}\)それは有限小数画分。 分母の素因数分解\(n = p_1^{l_1} \cdot \, \dots \, \cdot p_j^{l_j}\) 、算術の基本定理によれば、これは次のように表すことができます。 \(f = 2^{km} \cdot 5^{kn}\)から\(2^k \cdot 5^k\) if \(n = 2^m \cdot 5^n\) 。 これが適用されます:
完全に省略されたときに分母が2または5以外の素因数を持たない分数のみが、有限の小数分数になります。