Los números decimales finitos se llaman fracciones decimales, porque son una representación diferente para fracciones con potencias de diez en el denominador. Asi es:
$$\frac{z}{n} = \frac{q_1}{1} + \frac{q_2}{10} + \dots + \frac{q_k}{10^k}$$
con \(k \in \mathbb{N}\) y \(q_k\) el \(k-1\) -ésimo lugar a la derecha después de la coma.
Ahora es:
$$\frac{z}{n} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{10^k} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{2^k \cdot 5^k}$$
Esto significa: si el denominador se puede extender a \(2^k \cdot 5^k\) para una fracción general en una forma completamente abreviada \(\frac{z}{n}\) , es una fracción decimal finita . Si consideramos la factorización prima del denominador \(n = p_1^{l_1} \cdot \, \dots \, \cdot p_j^{l_j}\) , entonces de acuerdo con el teorema fundamental de la aritmética, esto se puede expresar como \(f = 2^{km} \cdot 5^{kn}\) a \(2^k \cdot 5^k\) si \(n = 2^m \cdot 5^n\) . Esto se aplica:
Solo las fracciones cuyos denominadores no tienen factores primos distintos de 2 o 5 cuando se abrevian completamente producen una fracción decimal finita.