Bilangan desimal hingga disebut pecahan desimal, karena merupakan representasi yang berbeda untuk pecahan dengan penyebut sepuluh. Begitu juga:
$$\frac{z}{n} = \frac{q_1}{1} + \frac{q_2}{10} + \dots + \frac{q_k}{10^k}$$
dengan \(k \in \mathbb{N}\) dan \(q_k\) \(k-1\) tempat di sebelah kanan setelah koma.
Sekarang adalah:
$$\frac{z}{n} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{10^k} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{2^k \cdot 5^k}$$
Ini berarti: Jika penyebut dapat diperpanjang ke \(2^k \cdot 5^k\) untuk pecahan umum dalam bentuk yang sepenuhnya disingkat \(\frac{z}{n}\) , itu adalah pecahan desimal hingga . Jika kita perhatikan faktorisasi prima dari penyebut \(n = p_1^{l_1} \cdot \, \dots \, \cdot p_j^{l_j}\) , maka menurut teorema dasar aritmatika, ini dapat dinyatakan sebagai \(f = 2^{km} \cdot 5^{kn}\) ke \(2^k \cdot 5^k\) jika \(n = 2^m \cdot 5^n\) . Ini berlaku:
Hanya pecahan yang penyebutnya tidak memiliki faktor prima selain 2 atau 5 jika disingkat sepenuhnya menghasilkan pecahan desimal berhingga.