Les nombres décimaux finis sont appelés fractions décimales, car ils sont une représentation différente des fractions dont le dénominateur est une puissance de dix. Ainsi est:
$$\frac{z}{n} = \frac{q_1}{1} + \frac{q_2}{10} + \dots + \frac{q_k}{10^k}$$
avec \(k \in \mathbb{N}\) et \(q_k\) la \(k-1\) -ième place à droite après la virgule.
Maintenant c'est:
$$\frac{z}{n} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{10^k} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{2^k \cdot 5^k}$$
Cela signifie : Si le dénominateur peut être étendu à \(2^k \cdot 5^k\) pour une fraction générale sous une forme complètement abrégée \(\frac{z}{n}\) , c'est une fraction décimale finie . Si l'on considère la factorisation première du dénominateur \(n = p_1^{l_1} \cdot \, \dots \, \cdot p_j^{l_j}\) , alors selon le théorème fondamental de l'arithmétique, cela peut être exprimé comme \(f = 2^{km} \cdot 5^{kn}\) à \(2^k \cdot 5^k\) si \(n = 2^m \cdot 5^n\) . Ça s'applique:
Seules les fractions dont les dénominateurs n'ont pas de facteurs premiers autres que 2 ou 5 lorsqu'elles sont entièrement abrégées donnent une fraction décimale finie.