Decimalbrøker

Finite decimaltal kaldes decimalbrøker, fordi de er en anden repræsentation for brøker med ti potenser i nævneren. Det er også:

$$\frac{z}{n} = \frac{q_1}{1} + \frac{q_2}{10} + \dots + \frac{q_k}{10^k}$$

med \(k \in \mathbb{N}\) og \(q_k\) \(k-1\) -te pladsen til højre efter kommaet.


Nu er:

$$\frac{z}{n} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{10^k} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{2^k \cdot 5^k}$$

Det betyder: Hvis nævneren kan udvides til \(2^k \cdot 5^k\) for en generel brøk i en fuldstændig forkortet form \(\frac{z}{n}\) , er det en endelig decimalbrøk . Hvis vi betragter primfaktoriseringen af ​​nævneren \(n = p_1^{l_1} \cdot \, \dots \, \cdot p_j^{l_j}\) , så kan dette ifølge aritmetikkens grundsætning udtrykkes som \(f = 2^{km} \cdot 5^{kn}\) til \(2^k \cdot 5^k\) hvis \(n = 2^m \cdot 5^n\) . Dette gælder:

Kun brøker, hvis nævnere ikke har andre primfaktorer end 2'ere eller 5'ere, når de er fuldt forkortet, resulterer i en endelig decimalbrøk.

Tilbage