I numeri decimali finiti sono chiamati frazioni decimali, perché sono una rappresentazione diversa per le frazioni con potenze di dieci al denominatore. così è:
$$\frac{z}{n} = \frac{q_1}{1} + \frac{q_2}{10} + \dots + \frac{q_k}{10^k}$$
con \(k \in \mathbb{N}\) e \(q_k\) il \(k-1\) -esimo posto a destra dopo la virgola.
Ora è:
$$\frac{z}{n} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{10^k} = \frac{10^k \cdot q_1 + 10^{k-1} q_2 + \dots + q_k}{2^k \cdot 5^k}$$
Ciò significa: se il denominatore può essere esteso a \(2^k \cdot 5^k\) per una frazione generale in una forma completamente abbreviata \(\frac{z}{n}\) , è una frazione decimale finita . Se consideriamo la scomposizione in fattori primi del denominatore \(n = p_1^{l_1} \cdot \, \dots \, \cdot p_j^{l_j}\) , allora secondo il teorema fondamentale dell'aritmetica, questo può essere espresso come \(f = 2^{km} \cdot 5^{kn}\) a \(2^k \cdot 5^k\) if \(n = 2^m \cdot 5^n\) . Questo si applica:
Solo le frazioni i cui denominatori non hanno fattori primi diversi da 2 o 5 quando completamente abbreviate producono una frazione decimale finita.